Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3 1 страница

Красноярск 2016

Составители: доцент Л.М. Коренюгина,
старший преподаватель Е.С. Разгулина

Коренюгина Л.М., Разгулина Е.С.

МаТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Практические задания по дисциплине для студентов очной формы обучения направления 38.03.01 Экономика

/ Л. М. Коренюгина, Е. С. Разгулина. – Красноярск: АНО ВО СИБУП, 2016. – с.

Все темы сопровождаются расчётными примерами с обстоятельными пояснениями. Предложены варианты выполнения контрольной работы.

Методические указания утверждены и одобрены к печати научно–методическим советом СИБУП от 2016 г. Протокол №

Коренюгина Л. М., Разгулина Е. С., 2016

АНО ВО Сибирский институт бизнеса, управления и психологии, 2016

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций». 5

Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». 17

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» 29

Тема 4: «Интегральное исчисление». 41

Тема 5: «Дифференциальные уравнения». 50

Тема 6: «Ряды». 85

Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3. 96

Итоговая контрольная работа №3 по теме 5. 102

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 104

ВВЕДЕНИЕ

Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»

Пример1.1

Найти область определения функции, исследовать заданную функцию на чётность.

1. a) f(x)= arctg( ); b) f(x)= -ctg(2x);

Решение:

А)) f(x)= arctg( );

b) f(x)= -ctg(2x);

Пример1.2.

Найти предел

Здесь мы имеем с неопределенностью вида .

Разложим в числителе данное выражение на множители

Пример1.3.

Найти предел

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим

Пример1.4.

Найти предел

Здесь мы имеем с неопределенностью вида ¥–¥. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):

Пример1.5.

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:

Пример1.6.

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . При вычислении данного предела воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин.

= Пример1.7.

Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Преобразуем выражение, стоящее в скобках, следующим образом

.

Тогда исходный предел можно преобразовать так:

Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен

.

В результате получаем

.

Пример1.8.

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

a ) ; b ) ; c ) ;

d ) ;

Решение:

а) ;

b )

;

c ) ;

=0

=0

d )

Здесь мы имеем с неопределенностью вида .

При вычислении данного предела воспользуемся методом замены и методом эквивалентных бесконечно малых величин.

Пример 1.9.

Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x и x . Требуется:

1) найти область непрерывности функции и установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из заданных значений аргумента;

2) в случае разрыва функции сделать вывод о характере точки разрыва;

3) сделать схематический чертёж в окрестности точки разрыва.

f(x)= 12 , x = 1 , x = 0 ;

Данная функция элементарная

1) Область определения

Д(х)=

Во всех точках определения функция непрерывна

В точке x₁ = 1 функция непрерывна

определим характер точки разрыва

Для этого найдем односторонние пределы

В точке x₂ = 0 функция терпит разрыв второго рода

Пример 1.10.

Найти точки разрыва функции и определить характер разрыва. Построить график функции.

f(x)=

Данная функция задана тремя элементарными функциями, определенными на различных интервалах изменения х.

Функция непрерывна на каждом интервале

Разрыв возможен только в точках x₁ = -1, x₂ =0, где меняется аналитическое выражение функции

Для этого найдем односторонние пределы

В точке x₁ = -1 функция непрерывна

f(0)не определено

В точке x₂ = 0 функция терпит разрыв первого рода (односторонние пределы конечные числа не равные между собой)

Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Пример 2.1. Найти производную

При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования частного: . В результате получим

Пример 2.2. Найти производную

Пример 2.3. Найти производную

Пример 2.4. Найти производную

Пример 2.5. Найти производную

Пример 2.6. Найти производную

Пример 2.7. Найти производную

.

Пример 2.8.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³–3x+1 на отрезке [1/2; 2].

Ответ :

Пример 2.9.

Составьте уравнение касательной в точке

Решение:

Найдем производную:

.

касательная

Ответ : касательная к графику функции в точке

Пример 2.10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию.

Построить график этой функции, используя результаты исследования.

Общая схема исследования:

1. Область определения

2. Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

3. Четность-нечетность, периодичность.

4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.

6. Асимптоты вертикальные и наклонные.

7. График.

2) Область определения Д(х)=

3) Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

Нет точек пересечения с осями координат

3) Четность-нечетность, периодичность

не является четной и не является нечетной, график не симметричен относительно оси оу и начала координат.

Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.

4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.

точки экстремума х= и х=

Найдем знак первой производной на промежутках области определения

х
	+		-	Не опр	-		+
у		макс		Не опр		мин

5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости

=

действительных корней нет, точек перегиба нет . Найдем знак второй производной на промежутках области определения.

х		-1
	-	Не опр	+
у		Не опр

6) Асимптоты