Основная теорема о лебеговом продолжении меры.

Совокупность M всех измеримых по Лебегу множеств A Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru E является Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru - алгеброй с единицей Е , а внешняя мера Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru*(A) является Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru - аддитивным продолжением

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru - аддитивная меры m с полукольца S на Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru - алгебру M .

Доказательство.

Покажем, что M содержит S и * совпадает с на S .

Действительно, для всякого множества A Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru S справедливо: Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru* (A Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru A) =Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru*( Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru )= 0 ,

поэтому А измеримо. Далее, для всякого покрытия множества A Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru S конечной или счётной системой множеств Ai Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru S справедливо:

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru ,

и равенство достигается, например, при А1 = А , А2 = А3 = … = Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru .

Покажем, что * монотонна на M .

Действительно, если A Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru M , В Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru M , A Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru В , то Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru* (A) Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru* (В) , так как всякое покрытие множества В конечным или счётным набором множеств из полукольца S будет одновременно и покрытием множества А .

(3) Покажем, что Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru * полуаддитивна на M, то есть

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Действительно, так как

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru , где Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru ,

и при этом A’i Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru Ai , A’i Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru S и A’I Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru A’j = Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru при i Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru j , то

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Покажем, что M - алгебра с единицей Е .

Нам нужно показать, что объединение, пересечение и разность любых двух измеримых множеств А1 и А2 измеримо. Действительно, пусть А1 и А2 произвольные измеримые множества. Это означает, что

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

А так как

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

(проверьте это самостоятельно!), то

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Но (В1 Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru В2) Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru R(S) , поэтому множество А1 Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru А2 измеримо.

Измеримость дополнения всякого измеримого множества следует из равенства

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Измеримость пересечения двух измеримых множеств следует из равенства

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

(5) Проверим, что для любых двух множеств А и В из Е выполняется:

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Действительно, так как А Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru В Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ruОсновная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru В) и В Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru А Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ruОсновная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru В) , то, в силу (3), имеем

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Поэтому

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

(6) Покажем, что Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru * аддитивна на M, то есть

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

С учётом индукции достаточно проверить справедливость этого утверждения при n = 2 . Пусть множества А1 и А2 измеримы и А1 + А2 = А . Покажем, что

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Так как множества А1 и А2 измеримы, то найдутся множества В1 и В2 из кольца R(S) такие, что

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Так как множества А1 и А2 не пересекаются, то

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

(проверьте это самостоятельно!), и, следовательно,

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Далее, используя (5) , получим

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Так как мера Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru аддитивна на R(S) , то

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Добавив к обеим частям этого равенства m (В1 Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru В2) , получим

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

откуда

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Воспользовавшись выше доказанными неравенствами, получим:

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Заметим теперь, что

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

(проверьте это самостоятельно!). Поэтому

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

В силу возможности выбрать число Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru > 0 произвольно малым заключаем, что

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

С другой стороны, так как объединение любых не более чем счётных покрытий множеств А1 и А2 является не более чем счётным покрытием множества А = А1 + А2 , то

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Поэтому

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Итого получаем:

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

(7) Покажем, что Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru * Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru -аддитивна на M, то есть

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Действительно, для любом натурального n справедливо:

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Переходя в этом неравенстве к пределу при n Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru , получаем:

Основная теорема о лебеговом продолжении меры. - student2.ru

Доказательство противоположного неравенства проводится в полной аналогии с окончанием доказательства пункта (6) (проведите его самостоятельно!) .

Наши рекомендации