Исследование функций с помощью производных.

Контрольная работа №4 содержит

2 контрольных задания.

Краткая теория и методические указания для решения.

1. Правило Лопиталя для нахождения пределов функций в случае неопределенностей вида или .

Пусть функция и при (или ) совместно стремятся к нулю или

бесконечности . Если отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также

имеет предел, равный пределу отношений производных, т.е.

пусть

или

Тогда

Если после первого применения правила Лопиталя получим опять неопределенность или ,

то правило Лопиталя можно применить повторно.

2. Общий план исследования функции и построение графика

При исследовании функции рекомендуется все результаты, полученные в каждом разделе плана наносить на координатную плоскость после каждого раздела.

I. Общая характеристика функции:

1. Область определения .

2. Характеристика функции (четность, нечетность).

3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат

(входит в область определения).

5. Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва – вертикальная асимптота, если при .

2) Наклонные асимптоты: , , .

Полученные точки и асимптоты нанести на координатную плоскость.

II. Исследование функции на возрастание, убывание, экстремумы.

1. Находим производную .

2. Определяем точки, где или не существует.

3. Откладываем полученные точки на числовой оси и определяем знак производной на каждом полученном интервале (для этого на каждом интервале можно взять любое значение х, подставить его в производную и определить знак результата).

4. Определяем участки возрастания и убывания функции (по знаку ).

– функция возрастает

– функция убывает

5. Определяем точки экстремума – точки, где и при переходе через эту точку производная меняет свой знак.

– максимум – минимум

Вычисляем значение функции в полученных точках – экстремумы функции.

Точки экстремума нанести на координатную плоскость, сделать схематический график.

III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

1. Находим вторую производную

2. Определяем точки, где вторая производная равна нулю или не существует .

3. Откладываем полученные точки на числовой оси и определяем знак второй производной на каждом полученном интервале (аналогично определению знака первой производной).

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции (по знаку второй производной).

– функция вогнутая

– функция выпуклая

5. Определяем точки перегиба – точки, где и при переходе через эту точку меняет знак (выпуклость меняется на вогнутость и наоборот). Вычисляем значения функции в точках перегиба.

Точки перегиба нанести на схематический график и показать на графике выпуклость и вогнутость.

IV. Строим график.