Способ. Метод элементарных преобразований.

Решение.Этот определитель вычислим по правилу диагоналей. Приписываем справа к определителю первый и второй столбцы. Перемножаем элементы, стоящие на главной диагонали и складываем это произведение с аналогичными произведениями элементов, стоящих на диагоналях, параллельных главной. Затем к произведению элементов, стоящих на побочной диагонали, прибавляем аналогичные произведения элементов, стоящих на диагоналях, параллельных побочной. Затем от первой суммы вычитаем вторую. Это и будет искомый определитель.

1 2 3 1 2   4 5 6 4 5   7 8 9 7 8

Ответ:

б)

Решение.Решение найдем разложением по первому столбцу, но сначала с помощью свойств определителя сделаем нули в этом столбце везде кроме элемента, равного минус единице.

Для этого элементы второйстроки умножим на два и прибавим к соответствующим элементам первой строки; элементы второйстроки прибавим к соответствующим элементам третьей строки; элементы второй строки умножим на два и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки. Эти действия записываем так:

.

Разложив определитель 4-го порядка по 1-му столбцу, свели его вычисление к нахождению одного определителя 3-го порядка, который можно вычислить по правилу диагоналей, разобранному выше. Можно дальше применить свойства определителя и свести этот определитель к одному определителю 2-го порядка. Продолжаем делать нули теперь уже во второй строке, умножая элементы третьего столбца на и прибавляя к первому и второму столбцам:

=

(-4)

(-4)

Ответ:

2) Умножить матрицы:

.

Решение.Произведение матриц получили, умножая элементы строк первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы и складывая их.

Ответ: .

3) Найти обратные матрицы:

а) .

Решение.Сначала находим ; , значит, существует матрица . Находим алгебраические дополнения:

Ответ: .

4) Найти двумя способами ранг матрицы: .

Решение.

1 способ. Метод окаймляющих миноров. Находим любой минор второго по

рядка, отличный от нуля, например , по-

этому выписываем другой определитель . Нашелся определитель второго порядка, отличный от нуля, значит ранг . Теперь найдем определитель третьего порядка, окаймляющий найденный .

Берем другой определитель, окаймляющий

, как и предыдущий.

Больше окаймляющих миноров третьего порядка для нет, поэтому ранг А, равный наивысшему порядку минора, отличного от нуля, равен двум.

способ. Метод элементарных преобразований.

.

Получили 2-е нулевые строки. Поэтому ранг А равен 2 (очевидно минор второго порядка ).

Ответ: .

Контрольная работа № 2

“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”

ЗАДАНИЕ 1.Решить системы матричным способом и по формулам Крамера:

1.	а) ;	б) .
2.	а) ;	б) .
3.	а) ;	б) .
4.	a) ;	б) .
5.	а) ;	б) .
6.	а) ;	б) .
7.	а) ;	б) .
8.	а) ;	б) .
9.	а) ;	б) .
10.	а) ;	б) .
11.	а) ;	б) .
12.	а) ;	б) .
13.	а) ;	б) .
14.	а) ;	б) .
15.	а) ;	б) .
16.	а) ;	б) .
17.	а) ;	б) .
18.	а) ;	б) .
19.	а) ;	б) .
20.	a) ;	б) .
21.	а) ;	б) .
22.	а) ;	б) .
23.	а) ;	б) .
24.	а) ;	б) .
25.	а) ;	б) .
26.	а) ;	б) .
27.	а) ;	б) .
28.	а) ;	б) .
29.	а) ;	б) .
30.	а) ;	б) .

Задание 2. Решить системы методом Гаусса:

1.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
2.	а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
3.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
4.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
5.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
6.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
7.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
8. 8.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
9.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
10.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
11.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
12.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
13.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
14.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
15.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
16.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
17.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
18.	а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
19.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
20.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
21.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
22.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
23.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
24.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
25.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
26.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
27.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
28.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
29.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .
30.	а) ;	б) ;
в) ;	г) .

Задание 3. Решить системы однородных уравнений:

1.	а) ;	б) .
2.	а) ;	б) .
3.	а) ;	б) .
4.	а) ;	б) .
5.	а) ;	б) .
6.	а) ;	б) .
7.	а) ;	б) .
8.	а) ;	б) .
9.	а) ;	б) .
10.	а) ;	б) .
11.	а) ;	б) .
12.	а) ;	б) .
13.	а) ;	б) .
14.	а) ;	б) .
15.	а) ;	б) .
16.	а) ;	б) .
17.	а) ;	б) .
18.	а) ;	б) .
19.	а) ;	б) .
20.	а) ;	б) .
21.	а) ;	б) .
22.	а) ;	б) .
23.	а) ;	б) .
24.	а) ;	б) .
25.	а) ;	б) .
26.	а) ;	б) .
27.	а) ;	б) .
28.	а) ;	б) .
29.	а) ;	б) .
30.	а) ;	б) .

Образец выполнения контрольной работы № 2

“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”

1) Решить систему матричным способом: .

Решение.Пусть . Тогда данную систему можно записать в виде матричного уравнения . Решаем его, домножая слева на обратную матрицу: Отсюда получаем решение . Найдем сначала .

.

,значит ).

Составляем обратную матрицу

Найдем

,

т. е. .

Проверка.Подставим найденное решение в исходную систему: (истина), (истина), (истина).

Ответ: .

2) Решить систему методом Крамера.

Возьмем эту же систему и решим её с помощью определителей.

(найден выше).

, запишем определитель системы

Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей

.

Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей

Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей

.

По формулам Крамера получаем решение .

Ответ: .

3) Решить системы методом Гаусса:

а)

Выписываем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приводим ее или к треугольному виду, или к виду трапеции (как получится).

(3)

_{x y z}

: (-1) : (-6)

.

.

Так как число неизвестных и равно рангу системы, система имеет единственное решение. По полученной матрице восстанавливаем систему уравнений. Идя снизу вверх, получаем это решение: .

Из последнего уравнения 3, с помощью второго находим Подставляя в первое уравнение найденные и находим

Ответ: .

б)

(-1)

Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т. е. не имеет решения). Выпишем уравнение, соответствующее последней строке полученной матрицы: , что невозможно.

Ответ: система не имеет решения.

в)

Записываем расширенную матрицу:

: (-1) .

. Отсюда следует, что система совместна.

Число неизвестных .Следовательно, система имеет бесконечное множество решений: . Отсюда система имеет одну свободную переменную, пусть это будет , тогда – базисные (базисных неизвестных столько, каков ранг системы, т. е. сколько ненулевых строк остается в последней матрице).

Запишем систему, соответствующую полученной матрице: .

Следовательно, идя снизу вверх, выражаем базисные неизвестные через свободную . Из второго уравнения выражаем из первого уравнения

Общее решение: .

Из общего решения можно получить любое частное решение. Пусть , тогда получим частное решение:

Частное решение: .

Выполним проверку общего решения. Для этого подставим найденные выражения в уравнения исходной системы:

Ответ: .