Правила выполнения и оформления контрольной работы

Практические занятия

Семинар № 5.1 (14). Основные элементарные функции, их графики преобразования.

1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменных х, t, α, заданные следующими неравенствами ; ; .

Решение. 1). ═> ═> -2≤х≤2. Ответ. .

2). ═> ═> ═> . Ответ. .

3). (Задание для самостоятельного решения).

2. Вычислить частное значение функции:

1). при х=0, х=а+1; 2). при х=-1/2.

Решение. 1). =2.

2). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). 2; 2). .

3. Определить четность функций:

1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). Вычислим = = . Значит, функция нечетная.

Задания 2), 3), 4) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). Нечетная. 2). Четная. 3). Не является ни четной, ни нечетной. 4). Нечетная при х≠0. При х=0 функция у(х) не существует.

4. Найти область определения функций: 1). ; 2). ;

3). ; 4). ; 5). .

Решение.1). ═> 1-х²≥0 ═> ═>-1≤х≤1.

Задания 2), 3), 4), 5) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). -1≤х≤1. 2). х≠2 и х≠3. 3). ; 4). х≠kπ, k Z, 5). .

5. Найти область изменения функций: 1). ; 2). .

Решение. 1). => => => .

, значит, , или .

Ответ. .

2). Из функции выразим х через у, получим . Это выражение имеет смысл, если

1-4у²≥0 или .

Ответ. .

6. Найти наименьший период функций: 1). ; 2). .

Решение. 1). => => => => => x=x+π =>T=π.

2). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). T=π. 2). Т=2π.

Семинар № 5.2 (15). Основные элементарные функции, их графики преобразования.

1. Построить график функций:

1). ; 2). ; 3). ; 4). .

2. Построить график функции, заданной параметричеки:

1). ; 2). .

Решение. 1). Составим таблицу значений переменных х и у в зависимости от параметра t и построим график в декартовой прямоугольной системе координат

t	π/4	π/2	3π/4	π
x	-1+	-1	-1-	-3
y	3+		3-

Это построение можно выполнить другим способом. Из задания функции исключим параметр t, получим . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 3) и радиусом r=2. Так как t [0;π), то sint≥0, значит у≥3, то есть имеем часть окружности, лежащую выше прямой у=3.

2). (Задание для самостоятельного решения).

3. В полярной системе координат построить кривую, давая значения через от 0 до . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Найти полярное уравнение кривой и построить ее:

1). а). ; б). . 2). а). ; б). .

Решение. 1). а). . Составим таблицу значений ρ (ρ ≥0) в зависимости от угла φ.

φ		π/4	π/2	3π/4	π	5π/4	3π/2	7π/4	2π
ρ				-	-	-

Построим график в полярной системе координат, совместив ее с декартовой прямоугольной системой координат

Чтобы найти уравнение линии в декартовой системе координат, надо применить формулы, связывающие декартовые и полярные координаты точки, то есть ; ; ; , . Получим =2 , или . Это уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом r =1.

б). Для нахождения полярного уравнения линии воспользуемся уже известными формулами из предыдущего примера. Получим или . Составим следующую таблицу значений:

φ		π/4	π/2	3π/4	π	5π/4	3π/2	7π/4	2π
ρ				-				-

Построим график в полярной системе координат. .

2). (Задание для самостоятельного решения).

Семинар № 6.1 (16). Вычисление пределов функций.

1. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение.1). = =-11.

2). =∞, так как (х-4)→0 при х→4, (2х+5)→13, тогда дробь неограниченно возрастает.

3). ≤ =0. 4). ≤ =∞.

Ответ. 1). –11; 2). ∞; 3). 0; 4). ∞.

2. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). = = = =0.

2). = = =2. 3). = =∞.

4). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). 0; 2).2; 3). ∞; 4). 0, если n<m; a_n/b_m , если n=m; ∞, если n>m.

3. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3).

Решение. 1). = = = -1/2.

2). = = = = - = -2/3.

3). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1).-1/2; 2). –2/3; 3). 6.

4. Вычислить пределы. 1). ; 2). .

Решение. 1). = = = =0.

2). (Задание для самостоятельного решения).

Ответ. 1). 0; 2). –1/2.

Задания для самостоятельного решения: 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Ответ. 5). –3/2; 6). ∞; 7). ½; 8). 1/3; 9). –2; 10). 2; 11). 1.

Семинар № 6.2 (17). Вычисление пределов функций (замечательные пределы).

1. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). = =5 =5∙1=5.

2). = = = = 2.

Задания 3) и 4) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 5; 2). 2; 3). 0; 4). 8.

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). . Проводим замену х-1=у.

Тогда = = = = = =2/π.

Задания 2), 3) и 4) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 2/π; 2). –2; 3). 1; 4). 2.

3. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3).

Решение. 1). = = =е².

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения. Ответ. 1). е²; 2). 1; 3). ∞.

4. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). = = = =1.

2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). 1; 2). 3.

5. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). . Проведем замену у=1/х. Тогда = = =1/ .

2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). 1/ ; 2). е.

6. Вычислить пределы: 1). ; 2).

Решение. 1). = = = = = .

2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). ; 2). е².

7. Применяя эквивалентные бесконечно малые величины, вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3).

Решение. 1). ~3 ; sin ~ ; 1+cos4 ~8x. Тогда = =3/8.

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 3/8; 2). ; 3). 3.

Семинар № 6.3 (18). Непрерывность функций.

1. Исследовать на непрерывность функции: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение. 1). Область определения функции х R кроме х=0, то есть (-∞; 0) (0, +∞). Так как функция является элементарной, то, значит, она непрерывна в области существования. Точка х=0 является точкой разрыва. Односторонние пределы =1 и =1, но у(0) не существует.

2). . Область определения этой функции х (-∞; 0) (0, +∞). Она элементарная, а значит непрерывная в области существования. Односторонние пределы неравны, потому что = -π/2, = π/2. Это означает, что при х=0 функция терпит разрыв первого рода.

Задания 3) и4) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва, 2). х=0 точка разрыва, 3). х=0 точка разрыва, 4). х=1 точка разрыва.

2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующих функций:

1). ; 2). ; 3). .

Решение. 1). . Функция является элементарной и определена при х (-∞; 0) (0, +∞), следовательно, на этих интервалах она непрерывная.

Вычислим односторонние пределы, получим =1, =0.

Значит, х=0 точка разрыва первого рода.

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва 1 рода, 2). х=2 точка разрыва (устранимого), 3). х=-1 х=1 точки разрыва 2 рода.

3. Исследовать на непрерывность функции

1). ; 2). 3).

Решение. 1). . Пусть х<2, тогда f(x)= -(1/2)x² является непрерывной на данном множестве. Если х>2, то f(x)=x и так же является непрерывной на указанном множестве. Осталось исследовать точку х=2. Вычислим односторонние пределы функции f(x). Получим =-2, =2. Значит, в точке х=2 функция f(x) терпит разрыв первого рода.

Задания 2) и 3) для самостоятельного решения.

Семинар № 6.4 (19). Вычисление по непрерывным процентам.

Теория. Известно, что формула сложных процентов имеет вид , где Q₀ – первоначальная сумма вклада, р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), n- количество периодов времени хранения вклада, Q_n – сумма вклада по истечении n периодов времени.

(Этой формулой можно пользоваться в демографических расчетах, например, прирост населения, и в прогнозах экономики, например, увеличение валового национального продукта).

Пусть р=100% годовых. Составим таблицу расчета Q_n_.

n	За один промежуток		Примечание
		=2 Q₀	Процент начисляется один раз в год
	1/2	=(3/2)² Q₀=2,25 Q₀	Процент начисляется один раз в полугодие
	1/4	=2,44 Q₀	Процент начисляется ежеквартально
	1/12	≈2,61 Q₀	Процент начисляется ежемесячно
	1/365	≈2,714 Q₀	Процент начисляется ежедневно
	1/8720	≈2,718 Q₀	Процент начисляется ежечасно
n	1/n	при n→∞	Непрерывное начисление процента

Сколько бы ни было велико число начислений n, годовая сумма накоплений не превзойдет еQ₀, а доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более, чем .

В общем случае, если р – процент начисления за год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины , где r=p/100 – годовая ставка процента. Это выражение можно преобразовать к виду и при n→∞. Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. На сколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Полгода составляют 182 дня. , преобразуем, получим ≈ .

Ответ. Приблизительно в 6 раз.

Исполнительский блок

Индивидуальные домашние задания (контрольная работа)

Правила выполнения и оформления контрольной работы

При выполнении контрольной работы надо строго придерживаться указанных ниже правил:

§ Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, определенному преподавателем при выдаче ИДЗ (возможны другие способы определения). Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, не зачитываются;

§ Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний преподавателя;

§ В заголовке работы должны быть четко написаны фамилия студента, его инициалы, номер контрольной работы (номер модуля или его название). Заголовок работы надо поместить на обложке тетради;

§ Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задачи.

§ Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера;

§Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

Задание 1. Дана функция у=f(x). Указать:

а) область определения D; б) множество значений Е;

в) особенности (четность, нечетность, симметричность графика, периодичность)

Задание 2. Построить схематически графики функций. Для функции у=f(x) найти значения в указанных точках a, b, c. Исследовать на непрерывность.

2.1 а) ; б) а=-5; b=4; c=5; в) y=xsign(cosx).

2.2 a) ; б) a=2; b=3,5; c=5; в) .

2.3 a) ; б) а= - ; b=0; c= ; в) y=(3x+1).

2.4 a) ; б) а= - ; b= ; c=16; в) .

2.5 a) ; б) а=2; b=0,5; c=5; в) .

2.6 a) ; б) а= -1; b=0; c=4; в) .

2.7 а) ; б) а=-3; b=0; c=4; в) .

2.8 а) ; б) а=-4; b=1; c=4; в)

2.9 a) ; б) а=-1; b=0; c=4; в) .

2.10 a) ; б) а=-1; b=0,5; c=5; в) .

2.11 a) б) а= ; b=- ; c= ; в) .

2.12 a) ; б) а=-1; b=2; c=4; в) .

2.13 a) ; б) а=0; b=1; c=2; в) .

2.14 a) ; б) а=-2; b=0,5; c=4; в) .

2.15 а) ; б) а=-1; b=0,5; c=2; в) .

2.16 a) ; б) а= - ; b=1; c=3; в) y=cosxsignx.

2.17 a) ; б) а=0; b=3; c=5; в) y= .

2.18 a) ; б) а=-0,5; b=0; c=1; в) .

2.19 a) ; б) а=-1; b=2; c=9; в) .

2.20 a) ; б) а= - ; b= ; c= ; в) .

2.21 a) ; б) а= ; b= ; c= ; в) .

2.22 a) ; б) а=-1; b= ; c= ; в) .

2.23 a) ; б) а=-1; b=2; c=4; в) .

2.24 a) ; б) а= - ; b= ; c=3; в) .

2.25 a) ; б) а=-1; b=1; c=3; в) .

2.26 a) ; б) а=0; b=3; c=5; в) .

2.27 a) ; б) а=-2; b=1; c=4; в) .

2.28 a) ; б) а=0; b=2; c=3; в) .

2.29 a) ; б) а=0; b=4; c=5; в) .

2.30 a) ; б) а=-1; b=3; c=5; в) .

Задание 3. Выделив полный квадрат и осуществив перенос начала координат, построить в декартовой прямоугольной системе координат параболу. Укажите координаты вершины и точки пересечения параболы с осями координат:

3.1 ; 3.2 ; 3.3 ;

3.4 ; 3.5 ; 3.6 ;

3.7 ; 3.8 ; 3.9 ;

3.10 ; 3.11 ; 3.12 ;

3.13 ; 3.14 ; 3.15 ;

3.16 ; 3.17 ; 3.18 ;

3.19 ; 3.20 ; 3.21 ;

3.22 ; 3.23 ; 3.24 ;

3.25 ; 3.26 ; 3.27 ;

3.28 ; 3.29 ; 3.30 .

Задание 4. 1). В полярной системе координат построить кривую, давая значения через от 0 до . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. 2). Найти полярное уравнение кривой и построить ее:

4.1 а) ; б) .	4.2 а) ; б) .	4.3 а) ; б) .
4.4 а) ; б) .	4.5 а) ; б) .	4.6 а) ; б) , .
4.7 а) ; б) .	4.8 а) ; б) .	4.9 а) ; б) .
4.10 а) ; б) .	4.11 a) ; б) .	4.12 a) ; б) .
4.13 a) ; б) .	4.14 a) ; б) .	4.15 a) ; б) .
4.16 a) ; б) .	4.17 a) ; б) .	4.18 a) ; б) .
4.19 a) ; б) .	4.20 a) ; б) .	4.21 a) ; б) .
4.22 a) ; б) .	4.23 a) ; б) .	4.24 a) ; б) .
4.25 a) ; б) .	4.26 a) ; б) .	4.27 a) ; б) .
4.28 a) ; б) .	4.29 a) ; б) .	4.30 a) ; б) .