Транспонирование и умножение матриц. Их свойства.

Матрица A^т- называется транспонированной к матрице А, если все её строки являются столбцами матрицы А.

Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Матрица у которой 1 строка называют матрицей строкой, а матрица столбец в которой 1 столбец.

EA=A AE=A

4)Обратная матрица. Теорема об обратной матрице.

Квадратная матрица называется вырожденной если её определитель равен нулю.

Матрицей называют обратной к квадратной матрице А если .

Обратная матрица может существовать только у квадратной матрицы(но не у каждой).

Теорема об обратной матрицы.

Если матрица А не вырожденная то у неё существует обратная матрица которую можно найти по формуле: получается

Где Aij-алгебраические дополнения элемента аij.

5)Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема об элементарных преобразованиях. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Рангом матрицы: А называется число равное наивысшему порядку её миноров отличных от нуля r(A)-ранг(А)=rank(A)

r(A)≤min{m;n}

Свойства ранга матрицы

1)r(A)=0ó A-нулевая

2)r(Amxn)=nóIAmxnI≠0

3)r(А^Т)=r(A)

4)Добавление или вычёркивание нулевого ряда не меняет ранга матрицы.

5)Элементарные преобразования не меняет ранга матрицы.(перестановка, умножение)

Элементарные преобразования матрицы

Работая тока со строками или столбцами приводим матрицу к трапециевидной форме тогда ранг такой матрицы равен S.

6)Системы линейных уравнений. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли.

Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Где аij-коэффициенты неизвестных

Xij-неизвестные bi-правые части свободные коэфиценты.

Любая СЛАУ может иметь 1 решение или бесконечно много решений или не иметь решений вообще.

СЛАУ называется совместной если она имеет хотя бы 1 решение.

СЛАУ называется определенной если она имеет единственно решение и не определённой если она имеет бесконечно много решений.

Теорема Кронекера-Капелли –Для совместности СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу её расширенной матрицы т.е. матрицы полученной из матрицы системы добавлением столбца правых частей.

7)Формулы Крамера.

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Затем ищем определитель дельта с заменой i-го столбца на столбец правых частей

1) Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

2)Δ=0 и хотябы один из Δi≠0 то СЛАУ- несовместна.

3)Если Δ=0 и все Δ=0 то либо СЛАУ несовместна либо СЛАУ неопределённа и имеет бесконечно много решений.