Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядканазывается уравнение вида
где - заданный интервал.
Обычно считают, что , и тогда линейное уравнение принимает вид
, (1)
где .
Если , то–(1) линейное однородное уравнение, в противном случае оно называется неоднородным.
Решим однородное уравнение
. (2)
Очевидно, что - решение (2). Линейное уравнение удовлетворяет на (a,b) всем условиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, поэтому какое-то другое решение (2), отличное от тождественного нуля, не обращается в 0 ни в одной точке на (a,b).
Итак, считаем, что .
,
откуда, обозначая любую первообразную для функции , находим в случае , или . В случае ,
Осталось заметить, что формула и при дает решение уравнения (2). Таким образом, - решение уравнения (2) при всех С, и любое решение (2) имеет такой вид при соответствующей постоянной С.
Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде . При этом
.
Подстановка в уравнение дает
, или
Интегрируем и, обозначая первообразную для , получаем Тогда
Эту формулу иногда записывают в виде
,
понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.
Пример. Решить уравнение
Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Ищем решения нашего уравнения в виде , где – некоторая дифференцируемая функция. Тогда и, подставляя в уравнение, получаем:
.
Интегрируя, находим:
.
Тогда .
Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (x+y – непрерывная функция а ее производная по y, равная 1, тоже).
Ответ: .
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Уравнения вида , называются уравнениями Бернулли.
Для решение сводится к только что разобранному случаю; . В случае при делении на уа получаем:
,у=0,
,
здесь мы сделали замену . Заметим, что при делении на мы должны не забыть учесть решение для . Полученное уравнение- линейное уравнение первого порядка, которое мы решаем, например, методом вариации постоянных. По найденному мы выписываем решение: для получаем , , для получаем
Пример. Решим уравнение Бернулли
, ,
, ,
здесь мы сделали замену и при делении на мы учли решение . Теперь, решая уравнение как линейное однородное, получаем:
.
Далее, ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде:
.
Поэтому , и замена приводит к ответу.