Разложение решения по собственным формам колебаний

Уравнения колебаний двухмассовой системы удовлетворяются как решениям

так и решениям

тогда подставляя получим соотношения

или

Так неизвестными являются функции х₁ и х₂ то заменим их двумя новыми функциями f₁(t) и f₂(t) согласно равенствам

здесь а₁₁ и а₁₂ – произвольные числа, например а₁₁ = а₁₂ =1, с которыми а₂₁ и а₂₂ связаны заданными соотношениями.

Подставив указанные равенства в исходную систему и используя свойство ортогональности собственных форм колебаний, в итоге можно получить дифференциальные уравнения для каждой из функции f₁ и f₂

Обозначив правые части через F₁· и F₂· , то или возвращаясь к х₁ и х₂ имеем:

Пример Найти амплитуды перемещения всех масс и построить эпюру М_ИЗГ. I_{СЕЧ.БАЛК.} = 35520 см⁴; E = 2,1·10⁶ кгс/см²; l = 400 см; Q = 4000 кгс;

m = = 4,08 ; P = 600 кгс; ω = 100 1/сек. Найти единичные перемещения δ₁₁, δ₁₂, δ₂₁, δ₁₃, δ₂₂, δ₃₃.

δ₁₁ = δ₃₃ = 75 К, δ₂₂ = 243 К, δ₂₁ = δ₁₂ = δ₃₂ = δ₂₃ = 117 К, δ₁₃ = δ₃₁ = 51 К.

см/кгс

δ₁₁ = δ₃₃ = 5,53·10^-6 см/кгс; δ₂₂ = 17,92·10^-6 см/кгс;

δ₂₁ = δ₁₂ = δ₃₂ = δ₂₃ = 8,64·10^-6 см/кгс; δ₁₃ = δ₃₁ = 3,76·10^-6 см/кгс.

Решая получим а₁ = а₃ = - 0,064 см, а₂ = - 0,128 см. Эти перемещения больше чем в 10 раз превосходят статические перемещения

см

см

что объясняется близостью частоты возмущения ω к собственной частоте Р₁.

сек^-1

Инерционные силы по амплитуде равны

кгс;

кгс;

кгс

Продольные колебания стержней при действии гармонического возмущения

u(x, t) = U(x)·sinωt – вынужденные колебания

U(x) – определяемая функция колебания стержня

- дифференциальное уравнение колебаний

- формула решения дифференциального уравнения.

C, D – константы, определяемые из начальных условий.

U = 0 закрепленный конец;

к концу приложена сила

свободный конец

Пример

х = 0; U = 0; при х = l

Подставляя в выражение U получим ; D = 0

;

при ω = 0 и статическое перемещение

при т.е. резонанс т.к.

Изгибные колебания балок при гармоническом возбуждении

Прогиб балки будем искать в виде

и надо найти

При постоянной распределенной массе m= const

уравнение изгибных колебаний балки

тогда - решение уравнения

S, T, U, V – функции Крылова

с₁, с₂, с₃, с₄ – ищем из краевых условий

Пример

; ; ;

из первых условий с₁ = с₂ = 0;

из 3-го и 4-го условий

с₃ = -

с₄ = -

Отсюда

или подставляя функции Крылова

при chkl·coskl+1 =0 резонанс; tgkl = thkl конец стержня будет неподвижен явление антирезонанса.

Линейные системы с одной степенью свободы при действии сил неупругого сопротивления

Вязкое сопротивление основное уравнение имеет вид

Общее решение принимает вид

- частота колебаний

Гармоническая вынуждающая сила

где

ни при каких значениях ω.

Фазовый угол γ сдвиг между силой и перемещением.

Сила на основание при вязком сопротивлении

;

отсюда

μ_* - коэффициент передачи силы