Плоское напряженное состояние. Анализ формул (4.6) и (4.7) показывает, что если известны шесть независимых компонент: нормальные и касательные напряжения

Анализ формул (4.6) и (4.7) показывает, что если известны шесть независимых компонент: нормальные и касательные напряжения , , (с учетом закона парности касательных напряжений), то напряжения на произвольной площадке определяются однозначно при заданных направляющих косинусах l, m, n.

Суммарное нормальное напряжение на площадке ABC определится соотношением

(4.8)

С учетом (4.6) и закона парности касательных напряжений получим

(4.9)

Касательное напряжение равно

. (4.10)

4.3. Главные площадки и главные напряжения

Величина нормальных и касательных напряжений, действующих на грани тетраэдра ABC, зависит от ее ориентации. Среди всех возможных направлений вектора нормали v, а значит положения площадки, существует такое направление, при котором полный вектор напряжений будет параллелен вектору нормали v. На такой площадке будут действовать только нормальные напряжения, а касательные напряжения будут отсутствовать.

Среди множества площадок, проходящих через точку тела, всегда можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых будут равны нулю. Площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют, называются главными, а действующие на этих площадках нормальные напряжения ¾ главными нормальными напряжениями.

Направления нормалей к этим площадкам называются главными направлениями или главными осями.

Нормальные напряжения на главных площадках обозначаются , причем индексы надо расставлять так, чтобы выполнялось неравенство: . Понимать это равенство надо в алгебраическом смысле (с учетом знаков).

Таким образом, в самом общем случае вектор полного напряжения p_ν в рассматриваемой точке тела может занимать произвольное положение, а геометрическое место концов вектора в пространстве образует эллипсоид напряжений (рис. 4.5), полуосями которого являются главные напряжения . Очевидно, что при произвольном направлении вектора p_ν его проекции на полуоси главных напряжений принимают промежуточные значения.

Из данного геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных полных напряжений p_ν на множестве площадок, проходящих через заданную точку тела. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид приобретает форму тела вращения, тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения, становится главной. Если же равны все три главных напряжения, то эллипсоид трансформируется в сферу и в исследуемой точке все секущие плоскости являются главными.

Рис. 4.5. Эллипсоид напряжений

Если в рассматриваемой точке отлично от нуля лишь одно главное напряжение, то такое напряженное состояние называется линейным, если от нуля отличны два главных напряжения – плоским, три – объемным.

При изучении растяжения – сжатия стержня было показано, что в направлениях перпендикулярных его продольной оси нормальные и касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения вдоль продольной оси (в поперечных сечениях). Очевидно, что такое напряженное состояние будет линейным и для него справедливы соотношения: при растяжении - ; при сжатии - . Были получены формулы для вычисления нормальных и касательных напряжений на произвольных площадках.

Плоское напряженное состояние

Такое напряженное состояние возникает, например, в точках внешней поверхности бака, нагруженного внутренним избыточным давлением. Пусть ,причем (рис.4.6).

Рис.4.6. К определению напряжений на произвольных площадках

На главных площадках в окрестности выбранной точки действуют только нормальные напряжения . Рассмотрим произвольные взаимно перпендикулярные площадки (внутри квадрата), которые отклонены по отношению к главным осям на углы α и β=α+π/2. На этих площадках действуют соответствующие нормальные σ_α, σ_β и касательные τ_α, τ_β напряжения.

Задача состоит в том, чтобы определить нормальные и касательные напряжения на произвольных площадках при заданных главных напряжениях. Используя принцип независимости действия сил можно, используя последовательно соотношения для линейного деформированного состояния (растяжения - сжатия), получить следующие зависимости

где (с учетом известных тригонометрических соотношений)

Тогда окончательно имеем

(4.11)

(4.12)

Проведя аналогичные преобразования для напряжений, действующих на площадках, нормаль к которым отклонена на угол β относительно направления действия напряжений σ₁, получим

(4.13)

(4.14)

Важно, что при использовании формул (4.11) –(4.14) необходимо главные напряжения подставлять со своими знаками, а угол α отсчитывать от направления бо'льших главных напряжений (σ₁) и также с учетом знака (на рис.4.6 положительное значение α).

Отметим некоторые свойства плоского напряженного состояния. Так, если сложить левые и правые части уравнений (4.11) и (4.13), то получим

Таким образом, сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, при их повороте остается постоянной, т.е. является инвариантом. Сопоставление выражений (4.12) и (4.14) подтверждает справедливость закона парности касательных напряжений.

Во многих задачах возникает необходимость решения обратной задачи: по известным значениям нормальных σ_α, σ_β и касательных τ_α, τ_β напряжений найти значения главных напряжений σ_1, σ₂ и направление главных осей. Если решить совместно уравнения (4.11) – (4.14) относительно σ₁ и σ₂, то получим

(4.15)

. (4.16)

В формулах (4.15) и (4.16) напряжения рассматриваются как алгебраические величины, т.е. учитываются их знаки. Для угла α правило знаков таково: положительные значения угла откладываются против хода часовой стрелки относительно базовой системы координат, а отрицательные – по ходу часовой стрелки.