Частный случай напряженного состояния - упрощенное плоское напряженное состояние

ПОЯСНЕНИЯ К Д.З. №4

СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Теория предельных напряженных состояний

При расчете на прочность по допускаемым напряжениям напряженное состояние в наиболее опасной точке исследуемого тела сравнивается с предельным напряженным состоянием для данного материала.

В случае сложного напряженного состояния, когда в рассматриваемой точке тела возникают как нормальные напряжения s, так и касательные напряжения t, анализ прочности изделия осуществляют с помощью теорий предельных напряженных состояний, на основании которых получены теории прочности.

Напряженное состояние в данной точке нагруженного тела это совокупность напряжений во всех сечениях, проходящих через данную точку. Данную точку изображают в виде кубика, размеры сторон которого бесконечно малы. Фактически точка это пересечение трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Обычно этими плоскостями являются поперечное сечение, продольное сечение и поверхность бруса. Формулы сопромата выведены для поперечного сечения. Значит, напряжения, действующие в поперечном и продольном сечениях известны. Поверхность бруса либо свободна от напряжений, либо на нее действует давление, величина которого известна. Напряжения, действующие по граням этого кубика, т.е. в соответствующих сечениях, называются компонентами напряженного состояния.

Уточним понятие коэффициента запаса в случае сложного напряженного состояния. Под коэффициентом запаса в случае сложного напряженного состояния будем понимать число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты данного напряженного состояния, чтобы получить предельное напряженное состояние, подобное данному напряженному состоянию.

Два напряженных состояния равноопасны, если у них одинаковы коэффициенты запаса.

Эквивалентное напряжение

Теория прочности служит для того, чтобы любое напряженное состояние можно было выразить через столь же опасное, т. е. эквивалентное ему одноосное растяжение (рис.1). С помощью теории прочности эквивалентное напряжение выражают через компоненты данного напряженного состояния, т. е. через и , действующие в данной точке и значения которых известны. Затем проводится расчет на прочность.

При поверочном расчете определяется

либо коэффициент запаса по текучести для пластичных материалов

, s_тр – предел текучести при растяжении для пластичных материалов,

либо коэффициент запаса по разрушению для хрупких материалов

, σ_вр – предел прочности при растяжении для хрупких материалов.

Следует обратить внимание на то, что в числителе стоят характеристики материала при растяжении, так как s_экв всегда растяжение.

При проектировочном расчете размеры сечения или допускаемые нагрузки определяются из условия прочности: ,

где [s] - допускаемое напряжение, которое задано, либо определяется по формулам:

для пластичных материалов, для хрупких материалов.

Частный случай напряженного состояния - упрощенное плоское напряженное состояние

Рассматриваем пластичный материал, который одинаково работает на растяжение и сжатие, т. е. предел текучести при растяжении s_тр равен пределу текучести при сжатии s_тс, или . Напряженное состояние, изображенное на рис. 2, называется упрощенным плоским напряженным состоянием. Это наиболее часто встречающийся на практике случай. Для такого напряженного состояния эквивалентное напряжение определяется по формуле

(теория прочности энергетическая)

По теории прочности максимальных касательных напряжений