Тогда ее решение имеет вид

(12)

если определитель системы отличен от нуля.

Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.

(13)

то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n – r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

9. Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы А п-го порядка, со­ответствующим собственному значению l, если он удовлетворяет матричному уравнению

АХ=lХ, или (А - lЕ)Х = 0

Здесь Е - единичная матрица n-го порядка, а 0 - нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор Х¹О, получаем характеристическое уравнение для определе­ния собственных значений l:

(14)

Координаты собственного вектора X_i соответствующего собственному зна­чению l_i, являются решением системы уравнений

(15)

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Пример 1. По координатам вершин пирамиды А₁ (3; -2; 2), А₂ (1; —3; 1), A₃ (2; 0; 4), А₄ (6; -4; 6) найти: 1) длины ребер А₁А_г и А₁А₃; 2) угол между ребрами А₁А_г и А₁А₃; 3) площадь грани А₁А_гА₃ ; 4) объем пирамиды

Решение. 1) Находим векторы А₁А_г и А₁А₃:

Длины этих векторов, т. е. длины ребер А₁А_г и А₁А₃, таковы:

2) Скалярное произведение векторов и находим по формуле (1):

а косинус угла между ними — по формуле (5):

Отсюда следует, что — тупой угол, равный рад с точ­ностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А₁А_г и А₁А₃.

3) Площадь грани А₁А_гА₃ равна половине площади параллелограмма, по­строенного на векторах и ,т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов [см. формулу (2)]:

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Сле­довательно,

4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор . Используя формулу (3), получаем

Пример 2. Найти угол между плоскостью Р₁, проходящей через точки А₁ (2; —4; 1), А₂ (—1; 2; 0), А₃(0; —2; 3), и плоскостью Р₂ , заданной уравнением 5х+2у-3z=0.

Решение. Уравнение плоскости Р₁ находим по формуле (4):

т. е.

7(х-2)+4(у+4)+3(z-1)=0, 7x+4y+3z=1

По уравнениям плоскостей определяем их нормальные векторы: , . Угол между плоскостями и находим по формуле (5):

откуда

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А₁ (4; -3; 1) и А₂ (5; -3; 0).

Решение. Используя формулу (6), получаем

Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости y = -3.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

(16)

Решение. Вычислим определитель системы

Так как , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера (11). Для этого найдем :

Подставляя найденные значения определителей в формулы (11), получаем ис­комое решение системы:

Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.

Решение. Здесь

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля (см. пример 4): , то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычис­лим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Согласно формуле (9), матрица ,обратная к А,имеет вид

Проверим правильность вычисления ,исходя из определения обратной матрицы (8) и используя формулу (7):

Матричное решение системы (16) в силу формулы (12) имеет вид

откуда следует (из условия равенства двух матриц), что х₁ = 3, х₂= - 5, х₃ = 2.

Пример 6. Найти решение однородной системы линейных уравнений

(17)

Решение. Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы системы

меньше числа неизвестных [см. формулу (13)]. Приведем матрицу А к каноничес­кому виду путем элементарных преобразований. Прибавляя к 1-му столбцу 3-й, а из 3-го вычитая 2-й, получаем

Умножим 1-й столбец на 1/4, а затем вычтем из 3-й строки 1-ю:

Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на 4, а затем ко 2-му и 3-му столбцам прибавим 1-й столбец, умноженный соответственно на 3 и 1:

Таким образом, ранг матрицы Аравен 2 и система (17) имеет нетривиальное решение. Примем за главные неизвестные и . Тогда система (17) сводится ксистеме двух уравнений

решение которой имеет вид , . Придавал свободному неизвестному произвольные значения , получаем решение системы (17) ввиде , , .

Пример 7. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (14):

откуда следует, что матрица Аимеет два собственных значения и . Собственный вектор ,соответствующий , определяется из системы уравне­ний вида (15)

которая сводится к одному уравнению . Полагая , получаем решение в виде . Следовательно, первый собственный вектор есть .

Второй собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений вида (15):

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению ; полагая , запишем ее решение в виде . Следовательно, второй собственный вектор есть .

Таким образом, матрица Аимеет два собственных различных значение и и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя) , .

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

Основные теоретические сведения

1. Прямоугольные координаты (х, у)точки Ми ее полярные координаты связаны соотношениями

(1)

где - полярный радиус, а - полярный угол точки М(рис. 3).

2. Определение конечного предела функции в точке: число А называется пределом функции при ,если для любого найдется такое, что при . Обозначение: или при .

Функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) при ,если .

Две функции и , одновременно стремящиеся к нулю или бесконечности при , называются эквивалентными, если . Обозначение: .

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т. е.

(2)

если .

3. К основным элементарным функциям относятся: 1) степенная функция ; 2)показательна функция ;3) логарифмическая функция ; 4) тригонометрические функции: 5) обратные тригонометрические функции:

Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частно­му значению функции в этой точке: .

Рис. 3

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей явля­ются: 1) сокращение на множитель, создающий неоп­ределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочле­нов при 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших; 4) использование двух замечательных пределов:

(3)

Отметим также, что

4. Функция/(х) называется непрерывной в точке , если:

1) частное значение функции в точке равно ;

2) существуют конечные односторонние пределы функции

(4)

3) односторонние пределы равны:

(5)

4) предельное значение функции в точке равно ее частному значению

(6)

Обозначение:

Точка называется точкой устранимого разрыва, если [нарушается условие (6)].

Точка называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но [нарушается условие (5)].

Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует [нарушается условие (4)].

5. Выражение вида называется комплексным числом (валгебраической и тригонометрическойформе соответственно).Здесь — действительная часть, а — мнимая часть комплексного числа ; и — модуль и аргумент числа .

(7)

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис. 4).

Извлечение корня n-й степени (n — натуральное число) из числа ( ) производится по формуле

(8)

где — арифметический корень из модуля , a .

Рис. 4

  Рис. 5   Рис. 6    

Пример 1. Найти полярные координаты точки (рис. 5).

Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный

угол точки М:

так как точка Млежит в IV четверти.

Пример 2. Построить по точкам график в полярной системе коор­динат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох — с поляр­ной осью. Определить вид кривой.

Решение. Так как полярный радиус не отрицателен, т. е. , то , откуда ; значит, вся кривая расположена в верхней полуплоскости. Со­ставим вспомогательную таблицу:

Номера точек
		p/8	p/4	3p/8	p/2	5p/8	3p/4	7p/8	p
		0,38	0,71	0,92		0,92	0,71	0,38
		0,76	1,42	1,84		1,84	1,42	0,76

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом , отклады­ваем соответствующее значение полярного радиуса и соединяем полу­ченные точки (рис. 6).

Найдем уравнение кривой в прямоугольной системе координат. Для этого заменим и их выражениями через и по формулам (1):

Окончательно имеем , т. е. рассматриваемое уравнение выражает окружность с центром в точке (0; 1) и единичным радиусом.

Пример 3. Найти

Решение. Подставляя вместо его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе — бесконечно малую функ­цию:

Поэтому

Пример 4. Найти

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неоп­ределенности вида Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумен­та, т. е. на . В результате получим

поскольку при функции и являются бесконечно малыми.

Пример 5. Найти

Решение. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при то на основании формулы (2) находим

Пример 6. Найти .

Решение. Подстановка приводит к неопределенности . Произведем замену переменных: , . Тогда

Здесь использован второй замечательный предел (3).

Пример 7. Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме при

Решение. Очевидно, что при оба слагаемых являются бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя замену бесконечно малых эквивалентными:

Следовательно, функция эквивалентна при второму сла­гаемому.

Пример 8. Исследовать функцию

на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение. Так как данная функция определена на всей числовой оси, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется анали­тическое выражение функции, т. е. точки и . Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки имеем:

Односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки получаем

Односторонние пределы функции при равны между собой и равны частному значению функции . Следовательно, исследуемая точка явля­ется точкой непрерывности.

График данной функции приведен на рис. 7.

Пример 9. Изобразить на комплексной плоскости числа: 1) 2) . Записать число в тригонометрической, а число в алгебраической форме.

Решение. 1) Для числа имеем . Откладывая по оси , а по оси , получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу (рис. 8). Модуль этого числа находим по формуле (7):

Рис. 7 Рис. 8

. Аргумент определяем из равенства . Так как число находится в левой полуплоскости, то его аргумент . Тригонометрическая форма числа имеет вид .

2) Модуль числа равен , а аргумент . Для его изображения на

комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом кполярной оси и откладываем на нем отрезок длиной . Полученная точка соответствует числу (рис. 8). Его действительная часть , а мнимая часть . Таким образом, алгебраическая форма числа имеет вид .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные теоретические сведения

1. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность или ) равен пределу отношения их производных:

(1)

если предел справа существует.

2. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или , то точка называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если — экстремальная точка функции , то первая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: является экстремальной точкой функции , если ее первая производная меняет знак при переходе через точку : с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс — при минимуме.

3. Точка называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если — точка перегиба кривой , то вторая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная меняет знак,

4. Прямая называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при . При этом

(2)

При имеем горизонтальную асимптоту: .

Если

(3)

то прямая называется вертикальной асимптотой,

4. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функция;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднения, точки пересечения
графика функция с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решения уравнений и не существует;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточ­ного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений и не существует;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточ­ного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование цроведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

6. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по аргументу называется предел

(4)

(приращение получает только один аргумент ). Обозначение: . Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании ар­гу­мен­тов и : .

7. Скалярным полем называется скалярная функция точки вместе с областью ее определения.

Уравнение

(5)

определяет семейство поверхностей (или линий) уровня, на которых скалярное поле принимает одно и то же значение .

Скалярное поле характеризуется градиентом

(6)

и производной по направлению , равной скалярному произведению и единичного вектора направления :

Пример 1. Составить уравнение касательной к нормали к кривой в точке, абсцисса которой .

Решение. Найдем ординату точки касания: . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке :

.

Подставляя значения , и в уравнения касательной и нормали ,получаем:

(касательная);

(нормаль).

Пример 2. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции:

Решение. 1) Подстановка предельного значення аргумента приводит к неопределенности вида . Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (1):

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.

2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим первую производную: . Из уравнений и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: , , . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения зна­ка :

	убыв.	min	возр.	не опр.	убыв.		убыв.

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функ­ции разбивается точками и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке . Точки и не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

Решение. Точка является точкой разрыва функции. Так как , то прямая служит вертикальной ассимптотой графика функции [см. формулы (3)].

Ищем наклонные асимптоты , используя формулы (2):

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Пример 5. Построить график функции , используя общуюсхему исследования функции.

Решение. I. Область определения: . Функция не явля­ется симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

График функции имеет одну вертикальную асимптоту и одну наклон­ную асимптоту (см. пример 4). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0).

II. Функция имеет один минимум при (см. пример 3).

III. Вторая производная обращается в бесконечность при и равна нулю в точке , которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

		не опр.		точка перегиба

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 9).

Пример 6. Найти первую производную функции , заданной парамет­рически:

Решение. Дифференцируем и no параметру : . Искомая производная от по равна отношению производных от и от по :

Пример 7. Найти частные производные функции .

Решение. Считая функцию функцией только одной переменной , а переменные и рассматривая как постоянные [см. формулу (4)], находим . Аналогично, считая функцией только , а затем только , получаем .

	Рис. 9

V ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАНИЙ ПО ВАРИАНТАМ

1. По координатам вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ найти: 1) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;3) площадь грани А₁А₂А₃;4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;6) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;7) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄.

1. А₁(-1; 2; 1), А₂(-2; 2; 5), А₃(-3; 3; 1), А₄(-1; 4; 3).

2. А₁(-2; I; -1), А₂(-3; 1; 3), А₃(-4; 2; -1), А₄(-2; 3; 1).

3. А₁(1; 1; 2), А₂(0; 1; 6), А₃(-l; 2; 2), A₄(l; 3; 4).

4. А₁(-1; -2; 1), А₂(-2; -2; 5), А₃(-3, -1; 1), A₄(-1; 0; 3).

5. А₁(2; -1; 1), А₂(1; -1; 5), (0; 0; 1), (2; 1; 3).

6. А₁(-l; 1; -2), А₂(-2; 1; +2), А₃(-3; 2; -2), А₄(-1; 3;0).

7. А₁ (1; 2; 1), А₂(0; 2; 5), А₃(-1;3; 1), А₄(1; 4; 3).

8. А₁(-2; -1; 1), А₂(-3; -1; 5), А₃(-4; 0; 1), А₄(-2;1; 3).

9. А₁ (1; -1; 2), А₂(0; -1; 6), А₃(-1; 0; 2), А₄(1; 1; 4).

10. А₁(1; -2; 1), А₂(0; -2; 5), А₃(-1; -1; 1), А₄(0; 0; 3).
11. А₁ (0; 3; 2), А₂(-1; 3; 6), А₃(-2; 4; 2), А₄(0; 5; 4).