Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

5. Даны векторы a(a₁; a₂; a₃), b(b₁; b₂; b₃), c(c₁; c₂; c₃) и d(d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a (2;4;-6), b (1;3;5), c (0;-3;7), d (2;3;52).

Векторы a, b, c образуют базис в пространстве в том случае, если равенство aa + bb + gc = 0 выполняется лишь тогда, когда a = b = g= 0.

Рассмотрим это условие:

a(2;4;-6) + b(1;3;5) + g(0;-3;7)= (0;0;0) или

Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:

Умножим первую строку на -2 и сложим со второй, умножим первую строку на 3 и сложим с третьей ; умножим вторую строку на -8 и сложим с третьей

Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно a = b = g= 0. Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:

a₁a + b₁b + g₁c = d.

В расширенном виде:

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):

Получим систему:

Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d( ; ; ).

15. Даны координаты вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ .Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(9;5;5), А₂(-3;7;1),А₃(5;7;8), А₄(6;9;2)

1) Длина ребра А₁А₂ равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле : А

2) Угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄ равен углу между векторами А₁А₂ и А₁А₄. Найдём координаты этих векторов.

А₁А₂ =(-3-9;7-5;1-5)=(-12;2;-4)

А₁А₄= =(6-9;9-5;2-5)=(-3;4;-3)

Тогда, если φ угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄, то

Тогда

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани А₁А₂А₃, затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄. Тогда искомый угол между гранью А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄ есть разность 90⁰ и полученного последнего угла.

Уравнение плоскости А₁А₂А₃ получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно

или

Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(7;26;-8). Найдём угол между нормалью к грани А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄.

Тогда

Значит, угол между гранью А₁А₂А₃ и вектором А₁А₄ равен 40,77⁰.

4) Найдём координаты векторов А₁А₂ и А₁А₃.

А₁А₂ =(-3-9;7-5;1-5)=(-12;2;-4)

А₁А₃= =(5-9;7-5;8-5)=(-4;2;3)

Тогда площадь грани А₁А₂А₃ будет равна

ед²

5) Объём треугольной пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на рёбрах А₁А₂ , А₁А₃, А₁А₄. Тогда

(ед³)

6) Уравнение прямой А₁А₂ имеет вид: , где (x₀;y₀;z₀ ) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x₀;y₀;z₀ ) можно выбрать координаты точки А₁, а за направляющий вектор взять вектор А₁А₂. Тогда получим:

– уравнение прямой А₁А₂ в симметричном виде.

7) Уравнение плоскости А₁А₂А₃ было найдено в пункте 3), а именно

– уравнение плоскости в нормальном виде.

8) Высота, опущенная из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃ , а значит

- уравнение высоты в симметричном виде.

Сделаем чертёж.

25. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку А(0;3).

Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Тогда каждая ее точка удовлетворяем условиям:

– проходит через точку А(0,3);

– радиус окружности. Тогда

Это парабола с вершиной в точке (0;3/2).

35. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [умножаем первую строчку на -4 и складываем со второй, умножаем первую на -2 и складываем с третьей ] = = [умножаем третью строку на -7 и складываем со второй] =

Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:

.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.

Тогда получим систему:

Тогда получим решение:

x₃ = 13; x₂ =8; x₁ =3.

2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .

Тогда X = A^-1B.

Вычислим обратную матрицу .

Тогда A^-1 =

Получим X = A^-1B = = = .

45. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [поменяем местами первую и третью строчки] = = [умножаем первую строчку на -3 и складываем со второй, умножаем первую на -7 и складываем с третьей] = = [умножаем вторую строку на -51, третью на 23 и складываем их] = .

Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:

.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.

Тогда получим систему:

Пусть х₃=t, тогда получим решение:

х₄= , x₃ = t; x₂ = ; x₁ = .

55. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.

Характеристическое уравнение имеет вид:

₁=-2, ₂=1, ₃=8 – собственные значения линейного преобразования.

Для ₁=-2 найдём собственный вектор.

, где t – любое число.

Собственный вектор для ₁=-2 имеет вид (-5t;-t;t).

Для ₂=1 найдём собственный вектор.

, где s – любое число.

Собственный вектор для ₂=1 имеет вид (0;s;0).

Для ₃=8 найдём собственный вектор.

, где r – любое число.

Собственный вектор для ₃=8 имеет вид ( ; ; r).

65. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм

Запишем данное уравнение в виде:

Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.

Запишем характеристическую матрицу:

Её корнями являются значения ₁=1, ₂=10.

Для ₁=1 найдём собственный вектор.

, где t – любое число.

Собственный вектор-столбец для ₁=1 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.

Для ₂=10 найдём собственный вектор.

, где s – любое число.

Собственный вектор-столбец для ₂=10 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.

Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу .

Базисными векторами новой системы координат являются:

В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:

Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.

Введение в анализ

75. Построить график функции преобразованием графика функции y=sinx.

Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А= , .

1. Строим одну волну синусоиды и отмечаем на ней несколько точек.

2. Уменьшаяя в 3/4 раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы y=sinx, затем стоим симметрично относительно оси абсцисс график функции y= sinx.

3. Увеличивая в 2 раза абсциссы точек графика функции y= sinx и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции .

4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 2 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .

y=-3/4sinx

y=sinx

85. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1)

φ	r
	5,00
π/8	4,07
π/4	2,66
3π/8	1,75
π/2	1,25
5π/8	0,97
3π/4	0,82
7π/8	0,74
π	0,71
9π/8	0,74
5π/4	0,82
11π/8	0,97
3π/2	1,25
13π/8	1,75
7π/4	2,66
15π/8	4,07
2π	5,00

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат

Подставим это значение в уравнение линии:

Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.

Эта линия является эллипсом.

95. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)

б)

в)

г)

105. Дана функция и два значения аргумента х₁=8, х₂=6. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;6),(6;+∞).

Исследуем поведение функции в точках х₁=8, х₂=6. Найдём односторонние пределы.

При х=8 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=6 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этой точке функция разрывна.

115. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0,2),[2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=2. Найдём односторонние пределы.

При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=2 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=2 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 1-0=1.

График этой функции: