Задача № 3. Нахождение максимума и минимума функции
3.1. Найдите интервалы монотонности и экстремум функции .
Функция определена на всей числовой оси. Найдём её производную. .
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.
— критические. Результаты исследования занесём в таблицу:
+ | + | ||||
Таким образом, функция возрастает а интервалах и , а убывает на интервале .
Точки являются точками экстремума. В точке функция достигает максимума, в точке функция достигает минимума.
3.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Находим критические точки данной функции.
.
;
;
;
;
Отрезку принадлежит только одна критическая точка . Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка:
;
;
.
Сравнивая полученные значения, найдем, что есть наибольшее значение функции, а — наименьшее значение функции на отрезке .
3.3. Найти максимум и минимум функции .
1. Функция определена для всех , т.е. область определения .
Находятся точки экстремума функции, вычисляются её экстремальные значения, находятся интервалы монотонности функции.
2. .
при и .
+ | + | + | ||||
Поэтому функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале . Точка является точкой максимума и .
Тема "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных"
Задача 1. Линии уровня функции двух переменных.
Для функции построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку .
Решение
Графиком линейной функции двух переменных является плоскость в пространстве. График данной функции представляет собой плоскость, проходящую через точки , , .
Линиями уровня функции являются прямые , или . Они параллельны друг другу и отсекают на оси отрезок .
4
4
0 1 2
Рисунок 3 – График функции
Рисунок 4 – Линии уровня функции
Задача 2. Вычисление частных производных функций.
Даны функции двух переменных .
1) Для функции найти частные производные , и вычислить их значения в точке .
2) Для функции показать, что .
Решение
1) Частная производная функции по переменной находится в предположении, что постоянна:
.
Частная производная функции по переменной находится в предположении, что переменная постоянна:
.
Вычислим значения частных производных при , :
, .
2) Смешанная частная производная второго порядка находится последовательным дифференцированием сначала исходной функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной по (считая постоянным):
Производная находится последовательным дифференцированием функции сначала по , затем производной по .
Как и следовало ожидать, .
Задача 3. Градиент функции двух переменных.
Дана функция .
1) Найти градиент в точке .
2) Найти и построить в точке .
Решение
1) Градиент - это вектор, координаты которого равны частным производным функции по переменным и :
.
2) В точке градиент . Начало вектора в точке , а конец - в точке .
0 2 4
Рисунок 5 – Градиент функции
Задача 4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в области.
Найти графическим методом наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной системой линейных неравенств:
Решение
1. Построим полуплоскости и найдем их пересечение. В качестве контрольной точки возьмем , не лежащую на граничных прямых.
Рисунок 6 – Графическое решение задачи нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Прямая ( ) построена по точкам и . Так как неравенство верное, то полуплоскость обращена в сторону точки .
Прямую ( ) строим по точкам и . Неравенство верное, полуплоскость направлена в сторону .
Прямая ( ) построена по точкам и ; полуплоскость обращена в сторону .
Неравенства и показывают, что пересечение полуплоскостей находится в первой координатной четверти.
2. Построим градиент функции - вектор с координатами , а перпендикулярно градиенту - линию уровня, прямую .
Параллельным переносом линии уровня в направлении градиента найдем точку ее «входа» в область – это точка на оси ОУ, в которой функция принимает наименьшее значение. Вычислим значение функции в этой точке: .
Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области, в которой функция принимает наибольшее значение. Вычислим значение функции в этой точке: .
Ответ: , .