А) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума

Экстремумы функции

Определение 1. Точка называется точкой максимума [точкой минимума] функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех значений из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называетсямаксимумом (минимумом) функции .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремумафункции , а значения функции в этих точках — экстремумами функции .

Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то является точкой максимума функции .

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то — точка минимума функции .

Теорема 3 (Ферма).Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если — точка экстремума функции , то .

Теорема 4. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если меняет знак с « » на « » (с « » на « ») при переходе через точку , то — точка минимума (точка максимума) функции .

Экстремум функции

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

В случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие:

Если:

А) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

Б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функцииg(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.