Случайные величины и их характеристики

Во многих случаях с исходами s_i случайного процесса естественным образом связываются числа x_i. Собственно говоря, во многих случаях исходы s_i и есть некоторые числа x_i. В этом случае говорят о случайной величине X, могущей принимать значения {x₁ ,…х_п} с вероятностями соответственно {р₁,...,р_п}. Функцией распределения (или законом распределения) случайной величины X называют вероятность Р(х) того, что случайная величина примет значение, меньшее х. Математическим ожиданием М случайной величины X называют ее среднее значение, подсчитываемое по формуле

.

Центральным моментом порядка случайной величины X называют математическое ожидание М[(Х — М[Х])²} случайной величины (X — М[Х])². Наиболее употребителен центральный момент D[X] порядка 2, подсчитываемый по формуле

и называемый дисперсией.

Средним квадратичным отклонением [Х] случайной величины называется корень квадратный из дисперсии. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины — ее наиболее важные характеристики. Они дают представление о «положении» случайной величины и о ее «разбросанности».

До сих пор рассматривались так называемые дискретные случайные величины, которые могут принимать лишь конечное (либо бесконечное, но счетное) множество значений. Задание для каждого значения случайной величины вероятности, с которой это значение принимается, называется рядом распределения. Иногда бывает удобно считать, что случайная величина X может принимать бесконечно много значений из некоторого множества действительных чисел. Например, тогда, когда п велико, вероятности p_i малы и количество значений, которое может принять величина X на промежутке (a,b) длины , совпадающем по порядку величины с точностью, с которой желательно или возможно знать величину X, велико. В этом случае ее уже нельзя описывать рядом распределения, и ее исходной характеристикой становится функция распределения X, определяемая точно так же, как это было сделано выше, т. е. Р(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х. Если эта функция непрерывна, то случайная величина называется непрерывной. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, и поэтому для непрерывных случайных величин имеет смысл говорить лишь о вероятности того, что ее значение принадлежит некоторому множеству, мера которого не равна нулю. Вероятность того, что значение х случайной величины X принадлежит множеству [а, b), равна Р(b) — Р(а).

Если функция распределения X непрерывной случайной величины X является дифференцируемой, то удобно оперировать ее плотностью распределения р(х) = dP(x)/dx, также являющейся исчерпывающей характеристикой случайной величины. Вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка (х,х + dx) малой длины dx, равна p(x)dx + o(dx). Для непрерывной случайной величины, обладающей плотностью распределения, математическое ожидание М[Х] и дисперсия D[X] определяются следующим образом:

Непрерывная случайная величина, плотность распределения р(х) которой дается формулой

называется распределенной по нормальному закону. Очень многие реальные случайные величины распределены по нормальному закону. Природа этого факта состоит в том, что нормальное распределение является пределом суммы независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам (необходимо выполнение некоторых весьма нежестких ограничений) при стремлении количества этих независимых случайных величин к бесконечности. Многие реальные случайные величины являются как раз суммами большого количества слабо зависимых случайных величин. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно т, среднее квадратичное отклонение — .

Дискретная случайная величина X, могущая принимать значения из множества натуральных чисел N = {0,1,2,...}, ряд распределения которой дается формулой

(4.1)

где а — постоянный параметр; р(т) — вероятность того, что случайная величина примет значение т, называется распределенной по закону Пуассона.

Многие реальные случайные величины распределены по закону Пуассона. Природа этого факта состоит в следующем. Пусть производится п независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А появляется с вероятностью q. Пусть X — случайная величина, значение которой есть число m появлений события А в п опытах. Ряд распределения величины X дается формулой

. (4.2)

Распределение (4.1) является предельным для распределения (4.2), когда число опытов n стремится к бесконечности, а вероятность q появления события А в каждом опыте стремится к нулю, однако так, что произведение (n*q) стремится к а. Многие реальные случайные величины являются результатом осуществления очень большого числа опытов, в каждом из которых вероятность появления некоторого события весьма мала.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, ряд распределения которой задается законом Пуассона, равны а.

Математическая статистика занимается разработкой методов регистрации, описания, анализа экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. Здесь коснемся только одной из ее задач — задачи экспериментального определения числовых характеристик случайных величин. Пусть произведено n опытов, в результате которых получено множество {x₁,x₂, ...,х_п} значений случайной величины X. Естественно оценить математическое ожидание этой величины по формуле

(4.3)

а дисперсию — по формуле

. (4.4)

Пусть истинные математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны, соответственно, М[Х] и D[X]. Рассмотрим величины М*[Х] и D*[Х] как случайные, определенные формулами (4.3) и (4.4) соответственно. Математическое ожидание величины М*[Х] равно М, а математическое ожидание величины D*[X] равно . Эти факты принято выражать следующим образом. Экспериментальная оценка (4.3) математического ожидания является несмещенной, а экспериментальная оценка (4.4) дисперсии является смещенной: если повторять много раз серию из п опытов, получая каждый раз экспериментальные значения случайной величины X и вычислять каждый раз значение D* [X], то оно будет колебаться не вокруг истинного значения дисперсии D, а вокруг значения Несмещенная оценка величины дисперсии дается формулой

(4.5)

Часто на практике возникает не только задача экспериментального вычисления числовых характеристик случайных величин, но и задача оценки точности и надежности этого вычисления. Пусть по экспериментальным наблюдениям случайной величины вычислена оценка (4.3) ее математического ожидания. Обозначим через вероятность того, что величина М*[Х] отклонится от истинного математического ожидания не более чем на . Величину называют доверительной вероятностью, а интервал (М*[Х] — , М*[Х] + ) называют доверительным. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность — его надежность. Задав число , можно по имеющимся экспериментальным результатам оценить вероятность попадания вычисленного значения М* [X] в доверительный интервал.

Случайные процессы

Развивающийся во времени процесс, характеристики которого в любой момент времени — случайные величины, называется случайным. Случайные процессы описываются случайными функциями, при каждом значении t являющимися случайными величинами. Пусть X(t) — случайная функция. Для каждого момента времени t можно определить математическое ожидание M(t) = m(t) и дисперсию D(t) = d(t). Пусть в случайные моменты времени происходит некоторое событие А (примеры: появление клиента в некоторой системе обслуживания, поломка некоторого прибора и т. д.). Обозначим через X(t) количество наступлений события А на промежутке времени от 0 до t и будем рассматривать эту функцию как случайную, характеризующую процесс. Этот процесс называется стационарным пуассоновским, если вероятность P(t) того, что событие А произойдет в течение малого промежутка dt, дается формулой

P(dt) = dt + o(dt),

где — постоянная. Число называется интенсивностью потока событий, или параметром пуассоновского процесса.

Для пуассоновских процессов вероятность P_m(t) того, что на промежутке (0, t) произойдет ровно т наступлений события А, дается формулой

(4.6)

Здесь необходимо обратить внимание на связь между формулой (4.6) и (4.1), которая, естественно, не случайна.