Раскрытие неопределённостей от показательных и логарифмических функций

Для функций этого третьего класса также требуется специальная Теорема (второй замечательный предел).

где число - бесконечная, непериодическая десятичная дробь (посмотрите приближённое значение этого числа на своём калькуляторе). Обычно помнят . Важно, что Заметим, что число , пожалуй, самое употребительное число и, соответственнно, связанные с этим числом функции и натуральные лагорифмы. График функции называется экспонентой.

Теорему принимаем без доказательства и заметим, что теорема раскрывает неопределённость типа

3

2

1

e

0 x Рис.2

Пример 25. Вычислить

Решение. Сделаем замену переменной тогда и получим

Заметим, что второй замечательный предел применяется общем виде:

Пусть , где - любое число или , но функция , тогда

(1)

Пример 26. Вычислить

Решение. Посмотрим на структуру формулы (1): во – первых, в основании степени находится сумма единицы и некоторой б.м. функции ; во – вторых, в показателе степени стоит - выражение, обратное второму слагаемому в основании степени («перевёрнутое» второе слагаемое),

Таким образом, задача ясна: надо выделить слагаемое Это можно делать различными искусственными методами, но проще всего следующим образом – добавим и отнимем единицу в основании степени:

Вот мы и получили функцию – она является б.м. при . Далее надо «подогнать» наш предел под форму второго замечательного предела, т.е. под формулу (1). Это означает, что в показателе степени надо иметь , т.е. . Опять же проще всего просто поместить нужное выражение в показателе степени, а чтобы сохранить равенство, на это выражение надо поделить (в показателе степени):

Пример хорошо показывает, что мы просто «подгоняли» под формулу (1). Ещё раз продемонстрируем это на следующих примерах.

Пример 27.

Пример 28.

Пример 29.

Из второго замечательного предела в качестве следствия тоже можно получить цепочку эквивалентностей. Рассмотрим второй замечательный предел и прологарифмируем обе части этого равенства по основанию е (говорят «возьмём натуральные логарифмы от обеих частей равенства»); при этом учтём, чтo логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания:

.

и окончательно получаем

Следствие. при .

Пример 30.

Следствие. при

Объединяя оба следствия, получим цепочку эквивалентностей при , или в общем виде

при

Пример 31.

Цепочку эквивалентностей можно применить и для решения предыдущих примеров. Вернёмся к примеру 27 и обозначим его: А= . Прологарифмируем это равенство:

lnA= )= - 1)= )= ln(1+ ) = = lnA= , A= .