Раскрытие неопределенностей

При определении пределов часто возникают ситуации, называемые неопределенностями. Мы рассмотрим неопределенности следующих видов

1) Раскрытие неопределенностей - student2.ru – неопределенность “ноль делить на ноль”.

2) Раскрытие неопределенностей - student2.ru – неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”.

3) Раскрытие неопределенностей - student2.ru –неопределенность “ноль умножить на бесконечность”.

Нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия каждой неопределенности в отдельности.

Неопределенность Раскрытие неопределенностей - student2.ruпоявляется при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций Раскрытие неопределенностей - student2.ru Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Пример 1.4

Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Здесь Раскрытие неопределенностей - student2.ru = 4 – 10 + 6 = 0 и Раскрытие неопределенностей - student2.ru = 0. Числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми при Раскрытие неопределенностей - student2.ru , т.е. имеет место неопределенность Раскрытие неопределенностей - student2.ru . Для раскрытия неопределенности в рассматриваемом случае числитель и знаменатель дроби разложим на множители и сократим на величину Раскрытие неопределенностей - student2.ru , дающую 0 в числителе и знаменателе:

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = – Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Пример 1.5

Найти предел: Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Решение

Здесь также имеем дело с неопределенностью Раскрытие неопределенностей - student2.ru . Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Раскрытие неопределенностей - student2.ru , которое называется сопряженным выражению Раскрытие неопределенностей - student2.ru , тогда

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru =

= Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Для раскрытия неопределенности Раскрытие неопределенностей - student2.ru в некоторых случаях могут быть полезны следующие определения и теоремы.

Определение 1.1. Пусть Раскрытие неопределенностей - student2.ru и Раскрытие неопределенностей - student2.ru две БМ при Раскрытие неопределенностей - student2.ru . Если

Раскрытие неопределенностей - student2.ru , (1.1)

то БМ Раскрытие неопределенностей - student2.ru и Раскрытие неопределенностей - student2.ru называются эквивалентными. Эквивалентность БМ Раскрытие неопределенностей - student2.ru и Раскрытие неопределенностей - student2.ru обозначается Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Теорема 1.1. (Первый замечательный предел). Можно показать

[ ], что

Раскрытие неопределенностей - student2.ru , (1.2)

Предел (1.2) называется первым замечательным пределом. Из теоремы 1.1 и определения 1.1 следует, что Раскрытие неопределенностей - student2.ru . Приведем еще некоторые примеры эквивалентных БМ при a® 0:

Таблица 1.1

1. sina ~ a
2. Раскрытие неопределенностей - student2.ru a
3. Раскрытие неопределенностей - student2.ru Раскрытие неопределенностей - student2.ru
4. Раскрытие неопределенностей - student2.ru a
5. Раскрытие неопределенностей - student2.ru a
6. Раскрытие неопределенностей - student2.ru a

Теорема 1.2.

Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным.

Поясним, что утверждает теорема. Пусть Раскрытие неопределенностей - student2.ru и Раскрытие неопределенностей - student2.ru две бесконечно малые функции. Известны еще две БМ Раскрытие неопределенностей - student2.ru и Раскрытие неопределенностей - student2.ru , причем Раскрытие неопределенностей - student2.ru и Раскрытие неопределенностей - student2.ru . Тогда Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Доказательство:

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru , что и требовалось. доказать.

Каждый из пределов в рамках равен единице, т.к. это пределы отношений эквивалентных бесконечно малых.

Пример 1.6

Найти Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Решение

Здесь имеет место неопределенность Раскрытие неопределенностей - student2.ru , которая раскрывается

переходом к эквивалентным величинам: sin5x~5x, sin3x~3x, по теореме 1.2 получаем:

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Неопределенность Раскрытие неопределенностей - student2.ruпоявляется при нахождении предела отношения двух бесконечно больших Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Пример 1.7

Найти Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Решение

Здесь имеет место неопределенность Раскрытие неопределенностей - student2.ru . Отметим, что Раскрытие неопределенностей - student2.ru самая большая степень, в которой переменная Раскрытие неопределенностей - student2.ru входит в числитель и знаменатель дроби. Для раскрытия неопределенности вынесем Раскрытие неопределенностей - student2.ru за скобки и в числителе и в знаменателе и сократим. Получим

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru =

= Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Отметим, что в данном примере высшая степень Раскрытие неопределенностей - student2.ru в числителе равна высшей степени Раскрытие неопределенностей - student2.ru в знаменателе. Предел равен отношению коэффициентов при высших степенях Раскрытие неопределенностей - student2.ru в числителе и знаменателе.

Пример 1.8

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = 0.

Отметим, что в данном примере высшая степень Раскрытие неопределенностей - student2.ru в числителе меньше высшей степени Раскрытие неопределенностей - student2.ru в знаменателе. Предел равен нулю.

Пример 1.9

Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru =

= Раскрытие неопределенностей - student2.ru = Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

В данном примере высшая степень Раскрытие неопределенностей - student2.ru в числителе больше высшей степени Раскрытие неопределенностей - student2.ru в знаменателе. Предел равен бесконечности. В результате рассмотрения примеров 1.7, 1.8 и 1.9 сформулируем общее правило нахождения предела вида

Раскрытие неопределенностей - student2.ru =

= Раскрытие неопределенностей - student2.ru

Пример 1.10

Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Решение

Здесь Раскрытие неопределенностей - student2.ru , Раскрытие неопределенностей - student2.ru , Раскрытие неопределенностей - student2.ru , поэтому предел равен Раскрытие неопределенностей - student2.ru :

Раскрытие неопределенностей - student2.ru .

Наши рекомендации