Такие замены (7) называется билинейным преобразованием.

ЭЛЕМЕНТЫ РАСЧЕТА ЦФ

1. Принципы расчёта рекурсивных ЦФ

Расчёт таких фильтров состоит из двух основных этапов.

1. Получение (расчет) передаточной функции , которая удовлетворяет требованиям обработки сигнала.

2. Создание процедуры перехода, которая преобразует в соответствующую передаточную функцию цифрового фильтра.

При проведении 2-го этапа расчета необходимо выполнить два условия.

Условие 1. Мнимая ось - плоскости отображается в единичную окружность в - плоскости.

Условие 2. Левая половина S-плоскости отображается в - плоскость внутрь единичного круга .

Рисунок 1

Условие 1 необходимо соблюдать для сохранения частотных свойств при переходе от аналогового к цифровому фильтру. Условие 2 – для сохранения устойчивости фильтра.

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

1. Задается или получается в результате расчётов передаточная функция аналогового фильтра (фильтра-прототипа), которая удовлетворяет требованиям обработки сигнала.

2. По путем обратного преобразования Лапласа находится импульсная характеристика (ИХ) аналогового фильтра

3. ИХ подвергается дискретизации и находится ИХ ЦФ

.

4. По находится системная функция ЦФ:

Далее записывается в форме, удобной для реализации.

Пример.

1.

2.

3.

4. Структурная схема рассчитанного ЦФ будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 2 – Структурная схема ЦФ

Метод билинейного преобразования

Моделирование операции интегрирования

Рассмотрим интеграл

(1)

Перейдём к дискретной функции, подставим вместо t величину mD.

Интеграл (1) примет вид ; .

На основе свойств, определённого интеграла, можно записать:

. (2)

Получено рекуррентное соотношение, которое позволяет последовательно шаг за шагом вычислять значение интеграла в точках от 0 до . Конкретный вид соотношения зависит от того, каким образом аппроксимируется интеграл в выражении (2).

Рассмотрим способ трапеций:

(3)

Рисунок 3 – Вычисление интеграла на интервале 

Подставив последнее выражение в формулу (2), получим:

. (4)

Осуществим - преобразование полученного разностного уравнения:

.

Найдём :

. (5)

Преобразуем по Лапласу интеграл (1):

. (6)

Сравнивая выражения (5) и (6), делаем вывод, что для моделирования

операции интегрирования необходимо осуществить замены:

на ; 2. на ; 3. на . (7)

Такие замены (7) называется билинейным преобразованием.

3.2. Использование билинейного преобразования Использование метода билинейного преобразования заключается в подстановке в передаточную функцию фильтра-прототипа вместо s

выражения и получении, таким образом, :

.

Исследуем изменение частотных характеристик при переходе к , для чего вместо s подставим , а вместо – .

Получим:

(8)