Тема 1: Выборочное наблюдение.

при решении задач по данной теме примем некоторые обозначения.

N – объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);

n – объем выборки (число обследованных единиц);

- генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);

– выборочная средняя;

p – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака, в общем числе единиц генеральной совокупности), например, доля числа бракованных единиц в общем количестве единиц в данной партии изделий;

w – выборочная доля;

s² – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);

S² – выборочная дисперсия того же признака;

s - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;

S – среднее квадратическое отклонение в выборке.

Между характеристиками выборочной совокупности и искомыми характеристиками генеральной совокупности, как правило, существует некоторое расхождение, которое называют ошибкой выборки.

Задачи, решаемые в этой теме, обусловлены практическими вопросами, требующими своего решения при организации выборочного наблюдения и анализе его результатов. Такими вопросами являются определение способа отбора и процедуры выборки; вычисление ошибок выборки и построение доверительных интервалов выборочных характеристик, а также расчетов необходимого объема выборки.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида ошибок связаны следующим соотношением:

где Δ – предельная ошибка выборки;

μ – средняя ошибка выборки;

t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

Чаще всего используют следующие сочетания:

t	P
1,0	0,683
1,5	0,866
1,96	0,950
2,0	0,954
2,5	0,988
2,58	0,990
3,0	0,997
3,5	0,999

Предельные ошибки выборки ( ) определяются в зависимости от метода отбора по формулам:

Метод отбора	Формулы объема выборки
Для средней	Для доли
Повторный
Бесповторный

После вычисления предельных ошибок выборки находят доверительные интервалы для генеральных показателей. Для `Х это ( ± Δ_х). Для Р это (W ± Δ_w), т.е.

Доля признака (W=m/n) – доля единиц, обладающих определенным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответствующих единиц к объему выборки.

Дисперсия доли находится следующим образом:

σ_w² = W*(1 - W)

Формулы, приведенные выше, используются при определении ошибок выборки, осуществляемой собственно случайным или механическим методами. В случае с типической выборкой показателем вариации является средняя из внутригруппировочных дисперсий ; при серийной выборке - межгрупповая (межсерийная) дисперсия δ² и т.д. Кроме того, в последнем случае вместо объема выборочной совокупности n используется показатель числа серий r.

· Для типической выборки предельная ошибка вычисляет следующим образом:

- при отборе, пропорциональном объему типических групп:

- повторный отбор,

- бесповторный отбор.

- при отборе, пропорциональном вариации признака (непропорциональном объему типических групп):

- повторный отбор,

- бесповторный отбор,

где N_i и n_i – объемы i-ой типической группы и выборки из нее соответственно,

_i² – групповые дисперсии.

· При серийной выборке предельная ошибка определяется:

- повторный отбор,

- бесповторный отбор,

где R и r – число серий в генеральной и выборочной совокупности соответственно,

δ² – межгрупповая (межсерийная) дисперсия, которая находится по следующей формуле:

где - серийные средние,

- общая средняя.

Разрабатывая программу выборочного наблюдения, задают величину допустимой ошибки выборки и доверительную вероятность. Неизвестным остается тот минимальный объем выборки, который должен обеспечить требуемую точность. Формулы для определения численности выборки (n) зависят от метода отбора. Они различны для расчета средней и доли и следуют из формул предельных ошибок выборки:

Метод отбора	Формулы объема выборки
Для средней	Для доли
Повторный
Бесповторный