Дополнительные задачи и упражнения 2 страница
АЛГЕБРА МАТРИЦ
Понятия:
1) произведение матриц;
2) сумма матриц;
3) произведение матрицы на число;
4) единичная матрица;
5) обратная матрица;
6) элементарные матрицы.
Факты:
1) свойства операций над матрицами:
- коммутативность сложения;
- ассоциативность сложения;
- ассоциативность умножения;
- дистрибутивность умножения относительно сложения (левая и правая);
- дистрибутивность умножения на число относительно сложения;
- связь между умножением матриц и умножением их на число;
2) теорема об определителе произведения матриц;
3) критерий существования обратной матрицы;
4) связь между элементарными преобразованиями матриц и элементарными матрицами.
С матрицей- прямоугольной таблицей, составленной из чисел, мы встретились еще в первой теме. Однако, это понятие применялось, в основном, для упрощения записи системы линейных уравнений. Подобно тому как операции над числами открывают неограниченные возможности в использовании числовых систем, разумное введение операций над матрицами сделало матричный аппарат одним из самых мощных средств, используемых во всех областях математики. На первом этапе мы ограничимся изучением матриц с числовыми элементами.
Две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: т. е. если - (mxn)-матрица, т.е. матрицы, содержащие
строк и
столбцов,
- (pxs)-матрица и
то:
и
.
Действия сложения матриц (одинаковых размеров!) и умножения матриц на число обычно не вызывают затруднений. Если -
-матрицы,
- число, то
.
Обратим внимание не только на естественность, но и на полезность таких действий. Известно, что при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр, а при сложении двух векторов его соответствующие координаты складываются. Взаимно однозначное соответствие, существующее между векторами и упорядоченными последовательностями их координат, позволяет сопоставить каждому вектору матрицу-столбец его координат
. Это соответствие не нарушается при сложении векторов и при умножении вектора на число.
А вот умножение матриц, на первый взгляд, вводится не совсем естественно. Если ‑матрица,
‑матрица, то их произведение
будет
‑матрицей, причем
,
.
Проиллюстрируем умножение матриц следующей схемой:
|

Пример 1. Вычислить произведение АВ матриц .
1
.
Произведение же получить нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А . g
Далеко идущий пример последовательного применения двух линейных преобразований координат точки на плоскости при повороте прямоугольной декартовой системы координат сначала на угол
:
а затем, на угол
:
указывает на целесообразность данного нами определения умножения матриц. В самом деле, первому повороту системы координат соответствует матрица , второму - матрица
Матрица , соответствующая повороту на угол
, равна
Обратную матрицу можно отыскать на основании ее определения, как такую матрицу X, которая для заданной матрицы A удовлетворяет условию AX=XA=E. Для этого прийдется решить систему линейных уравнений с
неизвестными, построенную на основании матричного уравнения (что, впрочем, приводит к довольно громоздким вычислениям.) :
Следует обратить внимание на то, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для матрицы является невырожденность, т.е.
должен быть отличен от 0.
Существует несколько способов вычисления обратной матрицы. В учебнике доказано, что
, где
- присоединенная матрица к матрице
. Если
, то
Здесь
‑ алгебраическое дополнение к элементу
матрицы
. Оно строится из определителя матрицы A вычеркиванием i-той строки, j-того столбца и берется со знаком
.Обратите внимание на то, что алгебраические дополнения для столбцов матрицы
становятся строками матрицы
.
Пример 2. Пусть , найти
.
1 Так как , то
существует. Последовательно находим:
Следовательно,
Проверкой убеждаемся, что
. g
Обратную матрицу можно находить, обратившись к линейным преобразованиям неизвестных. А именно, квадратная матрица n-го порядка определяет линейное преобразование неизвестных:
(1)
С помощью метода Гаусса выражаем через
, т.е. находим линейное преобразование неизвестных, обратное преобразованию (1). Матрица такого преобразования и будет искомой матрицей
, обратной матрице
.
Пример 3. Найти матрицу , обратную матрице
.
1 Данная матрица определяет линейное преобразование неизвестных
Обратимся к расширенной матрице, которая получается добавлением к матрице A столбца из неизвестных
:
Применяя метод Гаусса, последовательно имеем: вычитаем из второй строки расширенной матрицы ее первую строку, умноженную на 2, и из третьей строки- первую строку, умноженную на 3. Затем вычитаем из третьей строки полученной матрицы ее вторую строку, умноженную на 2.
Процесс закончен и мы выражаем
через
:
Отсюда. g
При решении матричных уравнений вида или
, если
невырождена следует обе части уравнений в первом случае слева, а во втором -справа умножить на
. В результате, мы получим
или
.
Пример 4. Решить матричное уравнение
1 Уравнение имеет вид . Поскольку
то
существует и равна
, получим
. g
Пример 5. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие уравнению
.
1 Метод описанный выше, здесь не пригоден, так как матрица вырожденная. Воспользуемся методом, который всегда приводит к решению матричных уравнений.
Представим матрицу Х в виде . Имеем
или после перемножения получим
.
Откуда и
. Обе системы совместны, причем в каждой системе второе уравнение можно отбросить и считать второе неизвестное свободным. Таким образом, получаем, что
- общее решение первой системы,
- общее решение второй системы. Полагая
, получаем следующий вид матрицы Х, удовлетворяющий данному уравнению:
, где
- произвольные числа. g
Контрольные вопросы.
1. Верно ли, что детерминант суммы матриц равен сумме детерминантов?
2. Выполняются ли для матриц соотношения:
a) ; б)
;
в) ; г)
;
д) ; е)
?
3. Чему равен детерминант произведения
а)
; б)
?
4. Верно ли что если A, B- вырoжденные матрицы, то AB, A+B - вырoжденные матрицы?
5. На какие правила действий над матрицами следует опираться при доказательстве равенства детерминанта произведения трех матриц произведению их детерминантов?
6. Известно, что AB=0. Означает ли это, что A=0 или B=0 ?
7. Известно, что AB=E. Означает ли это, что BA=E ?
8. Пусть A - невырoжденная симметрическая матрица. Будет ли симметрической матрица ?
9. Является ли симметрической матрица ?
10.Образуют ли группу все -матрицы с действительными элементами
а) относительно умножения; б) относительно сложения?
11.Может ли быть группой относительно умножения некоторое множество вырожденных матриц ?
Задачи и упражнения
[ 4, № 220, 221, 223, 224, 410, 411];
[ 5, № 790-796, 799-802, 804, 805, 808, 809, 822-825, 827-829, 836-843, 86-870].
Индивидуальные задания
Задача 14. Для каждой матрицы А, В, С, из списка матриц на с. 29-30 вычислить обратную матрицу.
Задача 15. Пусть f(х)- многочлен, найденный в задаче 3. Вычислить f(С), где С - матрица из того же списка.
Задача 16. Что произойдет со строками или столбцами (3х3)- матрицы Х при умножении ее слева (справа) на матрицу Р, а также на матрицу Т, где Р и Т —матрицы из того же списка?
Задача 17. На какую матрицу и с какой стороны следует умножить данную (4х4) матрицу А, чтобы в этой матрице А:
1) а) 1-й и 2-й столбцы поменялись местами? б) 1-я строка умножилась на 2?
в) к 4-ой строке прибавилась 2-я строка?
2 ) а) 1-я и 3-я строки поменялись местами? б) 1-й столбец умножился на -2?
в) из 4-го столбца вычелся 3-й столбец?
3) а) 1-я и 4-я строки поменялись местами б) 2-й столбец умножился на 3?
в) к 1-му столбцу прибавился 2-ой столбец?
4) а) 1-й и 3-й столбцы поменялись местами? б) 2-я строка умножилась на -3?
в) из 1-й строки вычлась 3-я строка?
5) а) 1-й и 4-й столбцы поменялись местами? б) 3-я строка умножилась на -4?
в) к 1-ой строке прибавилась 2-я строка?
6) а) 1-я и 2-я строки поменялись местами? б) 3-я строка умножилась на -4?
в) к 1-му столбцу прибавился 4-й столбец?
7) а) 2-й и 3-й столбцы поменялись местами? б) 4-й столбец умножился на 2?
в) из 1-й строки вычлась 3-я строка?
8) а) 2-я и 3-я строки поменялись местами? б) 4-я строка умножилась на -2?
в) из 2-го столбца вычелся 3-й столбец?
9) а) 2-й и 4-й столбцы поменялись местами ? б) 1-я строка умножилась на 3 ?
в) из 3-го столбца вычелся 4-й столбец?
10) а) 2-я и 4-я строки поменялись местами? б) 1-й столбец умножился на -3?
в) из 3-го столбца вычелся 4-й столбец?
11) а) 3-й и 4-й столбцы поменялись местами б) 2-я строка умножилась на 4?
в) из 2-ой строки вычлась 1-я строка?
12) а) 3-я и 4-я строки поменялись местами? б) 2-й столбец умножился на -4?
в) к 3-му столбцу прибавился 1-й столбец?
13) а) 1-й и 4-й столбцы поменялись местами б) 3-й столбец умножился на -2?
в) к 1-й строке прибавилась 4-я строка?
14) а) 1-я и 2я строки поменялись местами? б) 3-я строка умножилась на 2?
в) из 2-го столбца вычелся 3-й столбец?
15) а) 1-я и 2-я строки поменялись местами? б) 4-я строка умножилась на -3?
в) ко 2-му столбцу прибавился 4-й столбец?
Задача 18. Вычислить матрицу K=B-1 H B, где B и H - матрицы из приведенного ниже списка. Вычислить затем K100 и, пользуясь этим результатом, вычислить H100.
Задача 19. Решить уравнения B X = H и X H = H, где B и H - матрицы из приведенного ниже списка.
Список матриц:
A | B | C | H | P | T |
1) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
2) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
3) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
4) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
5) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
6) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
7) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
Продолжение списка матриц:
A | B | C | H | P | T |
8) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
9) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
10) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
11) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |||||||
12) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |||||||
13) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |||||||
14) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |||||||
15) | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |||||||