Дополнительные задачи и упражнения 5 страница

10.Многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты. Следует ли из этого, что многочлен p(x) не имеет кратных корней?

11.Многочлен p(x) не имеет кратных корней. Следует ли из этого, что многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты?

12.Обязательно ли, кратный корень многочлена p’(x) является также кратным корнем многочлена p(x)?

13.Пусть число c является корнем четного многочлена p(x). Будет ли корнем число -с для многочлена p(x)? А для нечетного многочлена?

14.Существует ли над полеем R неприводимый многочлен третьей степени?

Задачи и упражнения

[4, № 546, 549-552, 554-557, 577-580, 585, 587, 589, 590, 592, 593, 624-626, 650];

[6, № 7.1.1-7.1.4, 7.2.1-7.2.4, 7.2.8, 7.2.10, 7.2.11, 7.6.1, 7.6.2, 7.6.4, 7.7.2].

Индивидуальные задания

Задача 27. Даны многочлены , , . Вычислить наибольший общий делитель: a) многочленов и ;

b) многочленов и ;

c) многочленов и .

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Задача 28. Для многочленов и из задачи 27 найти такие многочлены и , что .

Задача 29. Многочлен из задачи 27 разложить:

а) по степеням двучлена x-2;

б) по степеням двучлена x+1.

Задача 30. Найти кратные корни многочлена из задачи 23 и определить их кратность.

Задача 31. Разложить в сумму простейших дробей над полем действительных чисел:

	(a)	(b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Задача 32. Решить 3-4 из дополнительных задач.

Дополнительные задачи и упражнения.

1. Известно, что при делении на x+1 дает остаток 1, а при делении на x+2 дает остаток 2.Какой остаток дает при делении на (x+1)(x+2)?

2. Некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и на (x-2)(x-3) дает соответственно остатки 2x и x+2. Какой остаток получится при делении этого многочлена на (x-1)(x-2)(x-3)?

3. Может ли некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и на (x-2)(x-3) давать соответственно остатки 2x и 4x?

4. Известно, что и при делении на x²+ x + 1 дают один и тот же остаток x+1. Какой остаток при делении на x² + x + 1 дает многочлен ?

5. Разложить на множители многочлен x³ -3x+A зная, что у него есть кратный корень?

6. Разложить на множители многочлен x³-7x²+14x+A зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.

7. Решить уравнение x³-6x²+Ax-6=0, если один из корней равен 3.

8. При каких значениях A многочлен 3x⁴+4x³-6x²-12x+A имеет кратные корни?

9. При каких значениях A один из корней многочлена вдвое больше другого?

10.При каких целых значениях p многочлен x³+px+2 имеет хотя бы один целочисленный корень?

11.Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что . Доказать, что .

12.Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что . Доказать, что .

13.Доказать, что в выражении не встречается x в нечетных степенях.

14.Найти сумму коэффициентов при всех степенях x в после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

15.При каких значениях A многочлены x² + Ax +1 и x² + x +A имеют общий корень?

16.Для каждого из данных многочленов найти границы действительных корней и вычислить корни с точночтью до 0,001:

а)	б)	в)
г)	д)	а)