Задача Коши для уравнения Даламбера в D’ ( R’). Функция Римана. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.
В О П Р О С 2
- Фундаментальные решения дифференциальных уравнений. Обобщенные и классические решения дифференциальных уравнений и связь между ними.
- Решения неоднородных дифференциальных уравнений. Свойства свертки фундаментальных решений.
- Фундаментальные решения линейного дифференциального уравнения с обыкновенными производными. Решения неоднородных уравнений.
- Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнения для потенциалов гравитационного и электростатического полей. Ньютоновские и кулоновские потенциалы.
- Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2. и их свойства.
6. Формулы Гаусса и Грина для решений уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2.
Определение. Уравнение
(1)
называется эллиптическим, если 
, 
.
В этом случае 
его каноническое выражение имеет вид:
Уравнение Лапласа-Пуассона имеет вид:
-эллиптическое уравнение.
Если 
-уравнение Лапласа, 
-Уравнение Пуассона.
Определение. 
(2)
, 
-решение, где 
, 
-фундаментальное решение
(3)
N=2: 
(плоскость)
Вторая формула Грина в 
Классическая формула Грина
7.Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=3. и их свойства.
мы знаем, что если имеется объемная 
и поверхностная 
плотность заряда, то потенциал их может бытьзаписан в виде:
(4.1)
Но такой путь не всегда целесообразен, т.к.:
а) иногда приводит к сложным вычислениям;
б) требует анализа, в случае если заряды не расположены в конечной области пространства и нормировки потенциала 
.
В этих случаях удобнее свести задачу о нахождении 
к решению дифференциального уравнения. Найдем это уравнение:
, где 
, т.е.
(4.2)- уравнение Пуассона, где
- оператор Лапласа.
В области пространства, где нет зарядов 
(4.3)- уравнение Лапласа.
Решения уравнения (4.2) должны удовлетворять требованиям непрерывности и конечности .
Преимущество нахождения с помощью уравнения (4.2) заключаются в большей общности этого метода и его широкая применимость, т.к. уравнение Пуассона не предполагает определенной нормировки и отсутствия зарядов на бесконечности.
Если же все заряды 
сосредоточены в конечной области пространства 
, то решением уравнения Пуассона будет:
, что
следует из однозначности решения задач электростатики.
Б2. 8. Формулы Гаусса и Грина для решений уравнения Лапласа-Пуассона в Полнота 
и R3.
9.Уравнение теплопроводности. Закон Фурье. Фундаментальные решения уравнения теплопроводности и их свойства.
10.Обобщенные и классические решения уравнения теплопроводности в 
и 
. Тепловые потенциалы
11. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространствах разной размерности. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.
12.Функционально-инвариантные решения Смирнова-Соболева волнового уравнения в 
. Гармоническая волна и ее характеристики: волновой вектор, длина волны, частота, период, фаза.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующее ей колебание частиц среды является гармоническим.
Покажем зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени.
– расстояние до источника
– смещение
Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.
, где 
– скорость волны
k – волновое число
13.Ударные волны как обобщенные решения волнового уравнения, волновые фронты. Условия Адамара на фронтах ударных волн.
14.Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в пространствах , N=1. Запаздывающие потенциалы.
15.Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в пространствах , N=2. Запаздывающие потенциалы.
Задача Коши для уравнения Даламбера в D’ ( R’). Функция Римана. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.
Задача: решить задачу Коши (уравнение математической физики, уравнение в частных производных гиперболического типа)
, 
Решение:
Для уравнения вида
с начальными условиями
, 
форму Даламбера имеет вид:
Подставим в эту формулу 
Далее следует простое интегрирование.
Ответ: 
17. Задача Коши для волнового уравнения в пространстве размерности N=2. Формулы Пуассона.
