Тема 3. Аналитическая геометрия

Задание множеств точек уравнениями и неравенствами. Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Понятие о кривых второго по­рядка. Канонические уравнения эллипса, окружности, параболы, гиперболы. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду в простейших случаях. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями. Прямая в пространстве, каноническое уравнение, параметрическое, прямая как пересечение двух плоскостей. Переход от одного уравнения к другому. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Кривые и поверхности 2-го порядка. Эллипс, парабола, гипербола, их свойства, приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка. Сфера, эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические поверхности. Приведение поверхности к каноническому виду.

Методические рекомендации

Аналитическая геометрия – раздел математического знания, предметом которого является исследование геометрических образов при помощи алгебраического языка – аналитически.

Важно научиться анализировать геометрические свойства линии на основе анализа их уравнений.

Литература: /1, лекции 6-12 /или /2, глава 1§1-4, глава 3 § 1-4/ или /4, глава 3 § 1-8, глава 9 § 9-14/, или /5(ч.1), глава 1/.

Вопросы для подготовки к экзамену:

1. Задание множеств точек уравнениями и неравенствами. Уравнение линии на плоскости.

2. Прямая на плоскости. Общее уравнение.

3. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Уравнение прямой в отрезках.

6. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

7. Понятие о кривых второго порядка. Канонические уравнения эллипса, окружности, параболы, гиперболы.

8. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду в простейших случаях.

9. Общее уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

Тема 4. Комплексные числа

Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексного числа (формула Муавра-Лапласа).

Методические рекомендации

Комплексные числа обладают рядом замечательных свойств, выделяющих их из ряда других полей. В отличие от поля вещественных чисел, комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле. Это означает, что любой многочлен произвольной степени n (n — любое натуральное число) с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Они также нашли значительное применение в анализе: теория функций комплексного переменного оказалась намного более богата, чем теория функций вещественного переменного, комплексные числа также играют важную роль при рассмотрении представлений функций в виде рядов: при комплексной записи вещественных рядов появляется возможность полностью решить вопрос о сходимости каждого ряда.

Применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках. Поэтому комплексные числа имеют широкое применение как в самой математике, так и в приложениях: в электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Литература: /2, глава 4 § 7/ или /3, глава 7 §1-4/ или /4, глава 14 § 6/.

Вопросы для подготовки к экзамену:

1. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Мнимая единица.

3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

4. Возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексного числа (формула Муавра-Лапласа).

Тема 5. Введение в математический анализ

Функция и способы ее задания. Область определения функции. Основные элементарные функции и их графики. Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Понятие о неопределенных выражениях. Раскрытие неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции. Понятие о точках разрыва функции.

Методические рекомендации

Понятие функции – одно из наиболее важных в математике и ее приложениях. В самом общем понимании функция – это зависимость между двумя переменными. В курсе математического анализа изучают главным образом числовые функции. Наглядное представление о числовой функции дает ее график. Это – некоторое множество точек на координатной плоскости, обычно – некоторая линия. Задать функцию означает: указать область определения функции и описать правило, позволяющее по данному значению аргумента находить соответствующее значение функции. Наиболее употребительными являются три способа задания функции: табличный, аналитический, графический. Наиболее простые приложения математического анализа ограничиваются кругом так называемых элементарных функций. Это: степенные функции, показательные функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические.

Важно усвоить понятия предела функции, бесконечно малых и бесконечно больших функций и методы вычисления приделов. Изучив эту главу, студент будет готов к восприятию понятий производной и интеграла.

Литература: /2, глава 7 §1-6/ или /3, глава 2 § 1-11/ или /4, глава 4 § 1-12/, или /5(ч.1), глава 6/.

Вопросы для подготовки к экзамену:

1. Функция и способы ее задания. Область определения функции.

2. Основные элементарные функции и их графики.

3. Понятие предела функции.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

5. Основные теоремы о пределах.

6. Понятие о неопределенных выражениях. Раскрытие неопределенностей.

7. Первый и второй замечательный пределы.

8. Непрерывность функции. Понятие о точках разрыва функции.