Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ρy'+qy=0,
у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K²+ρK+q=0
называется характеристическим уравнением данного уравнения .
Характеристическое уравнение является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К₁ и К₂.
Общее решение уравнения может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ²–4q уравнения следующим образом:
1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К₁≠К₂), и общее решение имеет вид .
2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К₁=К₂=К), и общее решение имеет вид:
3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К₁=α+βi, К₂=α–βi, β≠0), имеет вид y=e^αx(C₁ cosβx+C₂ sinβx).

Пример 1. Найти общее уравнение y''–y'–2y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K²–K–2=0, его корни К₁=1, К₂=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y=C₁e^x+C₂e^–2x.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К²–2К+1=0, его корни К₁ = К₂=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y=e^x(C₁+C₂x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y''–4y'+13y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К²–4К+13=0, его корни К₁=2+3i, К₂=2–3i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y=e^2x(C₁ cos3x+C₂sin3x).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
y''+ρx+qy=f(x),
где f(x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения y_осоответствующего однородного уравнения (1):
.
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения .
1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=e^αxP_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде , где Q_n(x) – многочлен той же степени, что и P_n(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.

Пример 4. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=x²+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y_o=e^x(C₁+C₂x )(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (К₁=К₂=1), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax²+Bx+C и подставляя =Ax²+Bx+C, , в данное уравнение находим 2A–4Ax–2B+Ax²+Bx+C=x²+1, или Ax²+(B–4A)x+2A–2B+C=x²+1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4, С=7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - .
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y _o=C₁e^x+C₂e^–2x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e^αx при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =A∙e^2x.
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем:
и , откуда , .
Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения и общее решение запишется в виде . Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. .
Подставляем начальные условия в у и у', находим С₁ и С₂:

.
Подставляя найденное значение С₁ и С₂ в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
.
2) Пусть правая часть имеет вид и α+βi, (α–βi) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде .
Если же α+βi, (α–βi) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде .

Пример 6. Найти общее решение уравнения .
Решение. Здесь характеристическое уравнение К²+1=0 имеет корни К₁= i, К₂=-i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y=C₁cosx+C₂sinx. В правой части стоит тригонометрическое функция то есть a=0, b=1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: .
Дифференцируя и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим , откуда , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: .