Лектор – доцент Чубаров И.А.
Экзаменационная программа курса «Линейная алгебра» для факультета
Биоинженерии и биоинформатики МГУ. 1 семестр 2016/2017 учебного года
Лектор – доцент Чубаров И.А.
- Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение общего решения неоднородной системы линейных уравнений в сумму частного решения и общего решения соответствующей однородной системы уравнений.
- Матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число, свойства этих операций.
- Умножение матриц и его свойства. Транспонирование матриц. Транспонирование произведения. Обратная матрица, ее единственность. Обращение произведения.
- Понятие определителя квадратной матрицы. Перестановки (подстановки), их четность и знак. Определение по формуле полного развертывания. Основные свойства определителей. Определители диагональной и треугольной матриц.
- Разложение определителя по строке и столбцу. Фальшивое разложение. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель произведения двух квадратных матриц (без доказательства).
- Исследование квадратной системы линейных уравнений. Формулы Крамера для решения квадратной системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем.
- Критерий существования и формула обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Два способа решения матричных уравнений AX = B, XA = B (где ).
- Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции надними. Базис, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Разложение вектора по базису на прямой, плоскости и в пространстве.
- Скалярное произведение двух векторов. Выражение ортогональной проекции одного вектора на другой. Свойства скалярного произведение и его вычисление в координатах. Ортонормированный базис, разложение вектора по ортонормированному базису.
- Векторное произведение двух векторов, его свойства, выражение в координатах и применения. Критерий коллинеарности двух векторов.
- Смешанное произведение трех векторов, его свойства, выражение в координатах. Объем ориентированного параллелепипеда. Критерий компланарности (линейной зависимости) трех векторов.
- Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении. Декартова система координат. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала. Прямоугольная (ортонормированная) декартова система координат. Формула расстояния между двумя точками.
- Прямая на плоскости. Векторные уравнения прямой на плоскости: параметрическое и нормальное. Уравнения прямой на плоскости в координатах: параметрические, каноническое, через две точки, общее линейное, с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление расстояния от точки до прямой, угла между двумя прямыми и расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости.
- Прямая в пространстве. Векторное параметрическое уравнение прямой. Координатные формы уравнений прямой: параметрические, канонические, по двум точкам. Вычисление угла между двумя прямыми, расстояния от точки до прямой, расстояния между двумя параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве. Задание прямой как линии пересечения двух плоскостей.
- Плоскость в пространстве. Векторное параметрическое и нормальное уравнения плоскости, уравнение с использованием смешанного произведения. Координатные формы уравнения плоскости: общее, с помощью определителя, через 3 точки. Вычисление угла между двумя плоскостями, расстояния от точки до плоскости, расстояния между параллельными плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.
- Определение линейного пространства. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, постоянство числа векторов базиса данного пространства, размерность. Координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса.
- Понятие ранга конечной совокупности векторов (в частности, строк или столбцов). Определение ранга матрицы, ранги по строкам и столбцам. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга при помощи элементарных преобразований (алгоритм нахождения базисных столбцов). Базисный минор, равенство ранга матрицы порядку ее базисного минора (без доказательства). Критерий равенства определителя нулю.
- Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение однородной и неоднородной систем линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли) и следствие (условие единственности решения).
- Подпространства в линейном пространстве. Примеры. Линейная оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Задание подпространства системой линейных однородных уравнений.
- Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Ядро и образ. Матрица линейного отображения. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса. Неизменность определителя матрицы линейного оператора при замене базиса.
- Собственный вектор и собственноезначение линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы линейного оператора. Нахождение собственных векторов. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду (необходимое и достаточное условие – существование базиса из собственных векторов; достаточное условие – наличие n различных собственных значений).
22. Евклидово пространство (пространство со скалярным произведением). Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Определение угла между векторами. Ортонормированный базис, его построение по алгоритму ортогонализации (Грама-Шмидта) с последующим нормированием. Разложение вектора в сумму ортогональной проекции на подпространство и ортогональной составляющей.
23. Билинейные функции (формы), их матрицы и запись в координатах. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса, неизменность ее ранга и знака определителя. Квадратичная форма, отвечающая симметрической билинейной форме. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа) (можно на примерах).
- Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма. Исследование знака квадратичной формы по ее каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной (без доказательства) и отрицательной определенности квадратичной формы.
25. Линейные операторы в евклидовом простанстве: ортогональные и самосопряженные. Матрицы ортогонального и самосопряженного операторов в ортонормированном базисе. Основная теорема о самосопряженном операторе.
26. Приведение квадратичной формы к главным осям при помощи собственных векторов и ортогональной замены координат (можно на примере). Обзор классификации кривых и поверхностей второго порядка*.
.
Список литературы.
- Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М., МФТИ, 2006.
2. Беклемишева Л.А., Беклемишев Д.В., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.– М.: Физматлит, 2003 (2011) или СП-б.: Лань, 2008 (2016).
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Физматлит, 2005.
- Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - М., МГУ, 2005.
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2000 – 2005.
- Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003.
- Резниченко С.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. – М., МФТИ, 2001.
- Кряквин В.Д. Линейная алгебра. Пособие к решению задач. – М.: Вузовская книга, 2004.
Примечание. В билете один вопрос и одна задача.Претендующие на 4 или 5 должны доказать хотя бы одну теорему из билета.