Теория пределов. Дифференциальное исчисление

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЮ

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА»

Методические указания для студентов 2-3-го курсов

всех специальностей очной формы обучения

Ростов-на-Дону

Составители: кандидат физико-математических наук, профессор Соболев В.В.,

кандидат физико-математических наук, доцент Нурутдинова И.Н.

УДК 51

Справочный материал для подготовки к Интернет-

тестированию по курсу «Математика»: Мето­д. указания

Для студентов 2-3-го курсов всех специальностей очной

формы обучения / РГАСХМ ГОУ,

Ростов н/Д, 2007. — 22 с.

Предназначены для подготовки к централизованному Интернет-тестированию по завершении курса «Математика». В краткой форме приводятся важнейшие теоретические положения, определения, правила, алгоритмы и формулы из основного курса «Математика» («Высшая математика») для всех специальностей.

Предназначено для студентов 2-3-го курсов всех специальностей очной формы обучения.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета академии

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Трепачёв

Научный редактор кандидат физико-математических наук, профессор В.В.Соболев

© Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ростовская-на-Дону государственная академия

сельскохозяйственного машиностроения, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) . . . . . 5

3. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Теория пределов. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

7. Дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

8. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

9. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

10. Математическая статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

11. Математические модели в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ВВЕДЕНИЕ

Справочный материал составлен с учётом того, что студенты изучили курс «Математика» («Высшая математика») в соответствии с Государственными образовательными стандартами и владеют необходимой математической символикой.

Цель данной методической разработки — помочь студентам обновить в памяти, обобщить и закрепить знания, полученные при изучении курса высшей математики перед прохождением централизованного Интернет-тестирования. Она будет полезна также для успешного дальнейшего обучения в академии по дисциплинам естественнонаучного цикла и специальным дисциплинам, чита­емым на профилирующих кафедрах.

Дано сжатое изложение важнейших математических понятий, опреде­лений, правил и алгоритмов решения задач, наиболее употребительных формул, необходимых при решении основных задач, включённых в программу тестирования. При этом авторы ориентировались на базу тестовых заданий, предлагавшихся Федеральным Центром тестирования на репетиционных и итоговых тестированиях 2005 — 2006 г.г.

Программы тестирования для разных специальностей различны. Данное методическое указание содержит материал для всех специальностей, как техни­ческих, так и экономических. В связи с этим некоторые разделы пособия являются избыточными для отдельных специальностей. Так, например, в разде­ле 11 «Математические модели экономики» представлен справочный материал, необходимый лишь для студентов специальностей 080502 («Эконо­мика и управление на машиностроительном предприятии») и 080507 («Ме­недж­­мент организации»). Раздел 8 «Ряды» необязателен для студентов специальностей 220201 («Управление и информатика в технологических системах») и 230201 («Информационные системы и технологии»). Остальные разделы содержат материал в большей или меньшей степени необходимый для всех специальностей.

При подготовке к централизованному тестированию в режиме on-line рекомендуется пройти индивидуально репетиционное тестирование, демо­версии которого для всех специальностей можно найти на сайте www.fepo.ru.

Комплексные числа

; , .

; .

.

—тригонометрическая форма;

; ;

;

;

.

2. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

.

.

; .

; .

Правило Крамера решения СЛАУ вида :

.

Образ вектора при линейном отображении

с матрицей :

.

3.Векторная алгебра

; ; ;

; .

Скалярное произведение: ;

; .

Векторное произведение:

.

Смешанное произведение: .

.

Аналитическая геометрия

Уравнение плоскости : ; — нормальный вектор;

; .

Уравнения прямой l в пространстве: ;

— направляющий вектор;

канонические: ; ; ;

параметрические: .

Канонические уравнения прямой l в пространстве, проходящей через точку и перпендикулярной к плоскости :

.

Уравнение прямой l на плоскости xOy: ; ;

; ; .

;

Уравнение прямой l, проходящей через две точки :

; ; — угловой коэффициент.

Координаты середины С отрезка , :

.

Уравнения кривых 2-го порядка:

Окружность: ; — центр, R — радиус.

Эллипс: ; — центр, а, b — полуоси.

Гипербола: ; — центр,

а — действительная, b — мнимая полуоси.

Парабола: ; — вершина, ось абсцисс Ох — ось симметрии.

Уравнения поверхностей 2-го порядка:

Сфера: ; — центр,

R — радиус.

Эллипсоид: ; — центр, а, b, c — полуоси.

Гиперболоиды: однополостный: ;

двуполостный: .

Параболоиды: эллиптический: ;

гиперболический: .

Цилиндрические поверхности (образующая — ось Oz):

— эллиптический цилиндр;

— гиперболический цилиндр;

— параболический цилиндр.

Конус 2-го порядка: .

Теория пределов. Дифференциальное исчисление

-окрестность точки а: промежуток , .

.

.

Функция непрерывна в точке , если .

,

т. е. .

.

; .

Уравнения касательной ,

нормали если

или,если

;

.

;

; ; ;

; .

Необходимое условие экстремума: — т. экстремума и .

Достаточные условия экстремума:

; ; .

; .

Правило Лопиталя:

— закон движения точки по прямой — скорость,

— ускорение.

— закон движения точки в пространстве

— вектор скорости,

— вектор ускорения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :

а) найти внутри все критические точки функции, т. е. такие, что или не существует;

б) вычислить , и значения во всех критических точках;

в) выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Образ отрезка при отображении непрерывной функцией —отрезок , где с — наименьшее, d — наибольшее значения на .

Формула Тейлора :

Формула Маклорена:

.

Частные производные: ;

.

— градиент скаляр­ного поля .

— производная

скалярного поля в направлении единичного вектора ,

— углы, образованные вектором с ортами .

Условия дифференцируемости функции комплексного переменного в точке : .

Метод Лагранжа решения задачи на условный (относительный) экстремум функции при условии :

6. Интегральное исчисление

—первообразная для , если ; ;

.

;

.

7. Дифференциальные уравнения (ДУ)

Решение ДУ — дифференцируемая функция, обращающая ДУ в верное тождество.

Порядок ДУ — порядок старшей производной (старшего дифференциала) в данном уравнении.

Задача Коши для ДУ 1-го порядка вида : найти частное решение ДУ, удовлетворяющее условию , где — заданные числа.

Типы ДУ 1-го порядка:

а) с разделяющимися переменными:

или (решается разделением переменных: …);

б) однородное (в однородных функциях): или , где — однородные функции одинаковой степени однородности (решается заменой );

в) линейное неоднородное:

г) типа Бернулли:

(решаются методом Бернулли сведением к двум ДУ с разделяющимися

переменными для функций : …).

Линейное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

(однородное, если , и неоднородное, если ).

Общее решение неоднородного ДУ: , где — общее решение однородного, — какое-либо частное решение неодно­родного ДУ.

Решение однородного ДУ: составляется характеристическое уравнение ;

а) корни — действительные, ;

б) корни — действительные, ;

в) корни — комплексно сопряжённые

.

Решение линейного неоднородного ДУ методом подбора: если — многочлен от х сте­пе­ни m, то , где — многочлен степени m с неопреде­лёнными коэффициентами, — крат­ность корня характеристического уравнени­я.

Ряды

Ряд сходится, если где ;

— сумма ряда.

Ряд сходится ; ряд расходится.

.

расходится.

.

Признаки сравнения положительных рядов:

1) при :

а) ;

б) .

2) (эквивалентны).

Признаки сходимости положительных рядов :

1) Даламбера:

2) Радикальный признак Коши:

Условия сходимости знакопеременных рядов:

сходится сходится абсолютно;

сходится, а расходится сходится условно.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда ,

: если и , то ряд сходится, .

Степенной ряд :интервалсходимости ,

радиус сходимости или .

Степенные разложения:

а) ;б) ;

в) ;

г).

Гармонические колебания:простая гармоника или , где — амплитуда, — частота, — начальная фаза.

Ряд Фурье для функции с периодом , заданной на :

,

, n=1,2,…

Ряд Фурье для функции , заданной на :

а) по косинусам( —чётнаяфункция, ):

; ;

б) по синусам( —нечётнаяфункция, ):

; .

Теория вероятностей

Элементы комбинаторики:

Число перестановок (упорядоченных комбинаций) изnэлементов: .

Число сочетаний (неупорядоченных комбинаций) изnэлементов по m:

Число размещений (упорядоченных комбинаций) изnэлементов по m:

.

Сумма событий — наступление хотя бы одного из событий или .

Произведение событий — наступление обоих событий и .

;

— условная вероятность события при условии, что событие произошло в данном опыте.

Классическая вероятность: , — число всех случаев полной группы попарно несовместимых, равновозможных исходов опыта, — число случаев, благо­приятствующих событию А.

Геометрическая вероятность: , — мера (длина, площадь или объём) бесконечного множества всех элементарных исходов, — мера подмножества всех элементарных исходов из , благоприятствующих событию А. Используется при равномерном распре­делении по вероятностей событий, прямо пропорциональных мере под­множеств благоприятствующих исходов.

Теорема сложения: .

Теорема умножения: .

А не зависит от В (т. е. ) .

Формула Бернулли: ; ;

; — наивероятнейшее (модальное) значение числа появления события A в серии из независимых испытаний в схеме Бернулли, — вероятность появления A в каждом отдельном испытании.

Формула полной вероятности:

, — гипотезы

( — достоверно, — невозможно, ).

Функция распределения (интегральная) случайной величины (СВ) X:

.

Функция плотности вероятности: ;

; .

Математическое ожидание(среднее значение) СВ Х:

а) Х — дискретная СВ: ;

б) Х — непрерывная СВ: .

Дисперсия СВ Х: ;

а) Х — дискретная СВ: ;

б) Х — непрерывная СВ:

.

Среднеквадратическое отклонение СВ Х: .

Математическое ожидание функции дискретной СВ Х:

.

Закон Бернулли(биномиальный): ;

;

; , ; .

Закон Пуассона: ; ; ;

.

Равномерный закон:

; .

Показательный закон: .

Нормальный закон Гаусса: ;

.

Математическая статистика

Х — изучаемая СВ (признак), — её различные наблюдаемые

значения (вариан­ты), встречающиеся соответственно раз в выборке объёма из генеральной совокупности; — частота(абсолютная), относительная частота варианты , — число различных вариант выборки.

Статистический ряд:

или

Мода вариационного ряда —варианта, имеющая максимальную частоту.

Выборочные (точечные) оценки параметров распределения признака

в генеральной совокупности:

а) выборочная средняя(несмещённая оценка генеральной средней М(X)):

;

б) выборочна дисперсия(смещённая оценка D(X)):

;

в) исправленная выборочная дисперсия (несмещённая оценка D(X)):

или ;

г) исправленная выборочная оценка среднеквадратического отклонения(несмещённая оценка ): или .

Парная регрессия: — две СВ, — выборка, содержащая пар значений признаков .

Линейная регрессия на : или — приближённое представление статистической зависимости от (в форме линейной зависимости), — коэффициент регрессии,

где , — средние выборочные значения,

— выборочные оценки , — выборочный коэффициент корреляции, ;

;

— мера тесноты линейной корреляционной зависимости СВ и;

(прямая зависимость от);

(обратная зависимость от).

Оценки параметров:

а) точечная (определяется одним числом);

б) интер­вальная (определяется концами интервала , сим­мет­рич­ного относи­тельно точечной оценки , покрывающего с определённым уровнем надёж­ноститочное неизвестноезначение параметра распределения генеральной совокупности).

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде (законе) неизвестного рас­пре­­­деления или о параметрах известного распределения признака в генеральной совокупности.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается . Гипотеза, противо­положная нулевой, называется конкурирующей и обозначается .

Ошибка первого рода — отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом деле является верной. Вероятность совершить ошибку первого рода назы­ва­ется уровнем значимости.

Ошибка второго рода — принимается нулевая гипотеза, когда на самом деле является верной конкурирующая гипотеза.