Дифференциальное исчисление

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Производная функция: определение, свойства, таблица производных. Дифференциальное исчисление - student2.ru

2. Исследование функции на монотонность.

3. Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.

4. Исследование функции на экстремум.

5. Геометрический и механический смыслы производной.

6. Построение графика функции, используя схему исследования свойств.

Примеры решения задач

1. Найти производные функций:

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение

При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.

Дифференциальное исчисление - student2.ru

2. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x3 - 3x2 - 45x + 20

Решение

Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

2) Найдем первую производную и определим соответствующие свойства

функции. f(x)=3x2 – 6x –45. Решим уравнение 3х2 – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.

Воспользуемся таблицей:

х (-¥; -3) -3 (-3;5) (5;¥)
f(x) + - +
f(x) Дифференциальное исчисление - student2.ru max Дифференциальное исчисление - student2.ru min Дифференциальное исчисление - student2.ru

Функция возрастает в интервалах (-¥;-3) и (5;¥), убывает в интервале (-3; 5).

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.

3) Найдем вторую производную f(x)=(3x2 – 6x –45)=6x-6.

Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.

Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

х (-¥; 1) (1;¥)
f(x) - +
f(x) Ç выпуклая точка перегиба È вогнутая

4) Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:

х - 6 -5 -3 - 1
f(x) - 34 - 27 -74 -144 -155 -99
      max     пер.     min    

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Интегральное исчисление

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов. Дифференциальное исчисление - student2.ru

2. Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.

3. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.

4. Способы вычисления определенного интеграла.

5. Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.

Примеры решения задач

1) Найти неопределенные интегралы:

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.

Дифференциальное исчисление - student2.ru

б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:

Дифференциальное исчисление - student2.ru

в)

Дифференциальное исчисление - student2.ru

г) Будем использовать подстановку:

Дифференциальное исчисление - student2.ru

д) Воспользуемся подстановкой:

Дифференциальное исчисление - student2.ru

2) Вычислить определенные интегралы:

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

Дифференциальное исчисление - student2.ru . Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.

Дифференциальное исчисление - student2.ru

б)

Дифференциальное исчисление - student2.ru Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дифференциальное исчисление - student2.ru

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х и 2х – у – 2 =0

Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х2 – 2х – 3 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем

значения функций и составим их таблицы:

х -1   х -1
у1 -4 у2 -4

Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дискретная математика

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Множества, их виды, способы задания.

2. Простейшие действия над множествами.

3. Отношения, их некоторые виды.

4. Графы, их основные элементы.

5. Некоторые виды графов. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Упражнения и их решение.

1) Составить объединение, пересечение и разность двух множеств.

а) А={3; 4; 6; 7}, B={2; 3; 4; 5}

AÈB={2; 3; 4; 5; 6; 7}, AÇB={3; 4}, A \ B ={6; 7}

б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]

AÈB=(-1;5]; AÇB=[1; 3]; A \ B=(-1; 1)

В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.

Комплексные числа

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Определение комплексного числа в алгебраической форме.

2. Геометрическое изображение комплексного числа.

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

4. Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.

Примеры решения задач

1) Построить на координатной плоскости числа Z1 , Z2, где Z1=3-2i, Z2=-1+i.

Решение

На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом

координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.

Дифференциальное исчисление - student2.ru

2) Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.

Z1=3+4i, Z2=2i18-5i15

Решение

Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i18=i16+2=i16i2=1i2=-1, i15=i12+3=i12i3=i3=-i, Z2=-2+5i

Выполним действия над числами:

Z1+Z2=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i

Z1-Z2=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I

Z1 .Z2=(3+4i) . (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i2=-6+7i – 20= - 26 + 7i

Дифференциальное исчисление - student2.ru

3) Представить число в тригонометрической форме Z= Дифференциальное исчисление - student2.ru

Найдем модуль и аргумент комплексного числа

Дифференциальное исчисление - student2.ru

Наши рекомендации