Тригонометрические неравенства
При решении простейших тригонометрических неравенств вида f (x) ≥ а, (либо f (x) > а, f (x) < а, f (x) 
где f (x) − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность, которая позволяет наглядно представить решения неравенства и записать ответ.
Пример 9. Решить неравенство 
Δ Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината не меньше числа 
(см. рис. 1).
Для |
Рисунок 1 
решением данного неравенства будут 
Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 
то sin x также будет не меньше 
Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 
где 
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом применяются линии тангенсов и котангенсов - прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности (см. рис. 2).
Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
Рисунок 2
Пример 10. Решить неравенство 
Δ Обозначим 
тогда неравенство примет вид простейшего: 
Рассмотрим интервал 
длины, равной π - основному периоду тангенса. На этом интервале с помощью линии тангенсов устанавливаем, что 
Вспоминаем теперь, что необходимо добавить 
поскольку основной период тангенса равен π. Итак, 
Возвращаясь к переменной x, получаем, что
Ответ: 
Для решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции удобно пользоваться графиками этих функций (см. рис. 3-6).
Рисунок 3 Рисунок 4
Арксинус Арккосинус
Рисунок 5 Арктангенс
Рисунок 6 Арккотангенс
Пример 11. Решить неравенство 
Δ Воспользуемся графиком функции 
Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой 
Это точка с абсциссой 
По графику видно (см. рис. 2), что для всех 
график функции лежит ниже прямой Следовательно, эти x и составляют решение данного неравенства. function changeDecision(proofobj, proofname) { if (proofobj.style.display=='none') { proofobj.style.display='inline'; proofname.innerHTML='Решение'; } else { proofobj.style.display='none'; proofname.innerHTML='Показать решение'; } }
Ответ: 
|
Рисунок 7 Учебная карта к занятию 8.
Задания уровня А
1.1 Решите уравнения: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.2 Решите неравенства: а) 
б) 
в) 
г) 
Задания уровня В
2.1 Решите уравнения: а) 
б) 
2.2 Решите уравнения: а) 
б) 
в) 
г) 
Задания уровня С
3.1 Решите уравнение 
Домашнее задание
1.3 Решите уравнения: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.4 Решите неравенства: а) 
б) 
в) 
г) 
2.3 Решите уравнения: а) 
б) 
2.4 Решите уравнения: а) 
,
б) 
, в) 
Ответы и указания к заданиям
1.1 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.2а) 
б) 
в) 
г) 
1.3 а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
1.4 а) 
б) 
в) 
г) 
2.1 а) 
Указание. Перейти к равносильному уравнению
, затем решить совокупность уравнений, объединив решения.
б) 
2.2а) 
Указание. Воспользоваться формулой приведения 
, а затем разложить на множители по формуле разности косинусов. б) 
Указание. Воспользоваться методом введения вспомогательного угла.в) 
Указание. Приведите к однородному уравнению 2-ой степени, представив 
г) 
2.3 а) 
б) 
2.4а) 
Указание. Перенесите 1 влево и разложите на множители, применив основное тригонометрическое тождество.
б) 
Указание. Перенесите вправо 
и сверните по формуле половинного угла, а левую часть разложите на множители по формуле суммы косинусов. В результате дальнейших преобразований получается три серии решений. Однако можно объединить две серии решений: 1) 
и заменить их одной: 
поскольку все точки второй серии решений содержатся в первой серии.
в) 
3.1 
Указание. Преобразовать левую часть уравнения с помощью метода вспомогательного угла, представив её в виде 
Затем рассмотреть сумму косинусов и представив её в виде произведения, перейти к совокупности двух уравнений.