Вопрос.Произвольная по направлению. Градиент примеры.

Пусть в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле . Выберем в этой области точку . Если перемещаться из этой точки вдоль какой-либо линии, то поле будет меняться от точки к точке. Причем, ясно, что для различных направлений скорость изменения также может оказаться различной и должна характеризовать само поле в рассматриваемой точке или ее окрестности. При этом, по смыслу рассуждений, эта величина должна быть векторной. Рассмотрим строгое определение этой характеристики на примере гидромеханической аналогии. Пусть в пространстве задано скалярное поле давления жидкости или газа. Поместим в эту область тело произвольной формы, ограниченное поверхностью , (рис. 24). Вычислим суммарую силу , действующую на тело со стороны среды.

Рис.24 К определению градиента скалярной функции

Рассмотрим площадку , содержащую точку на поверхности . Модуль силы, действующей на площадку , равен , а направление совпадает с направлением нормали к поверхности в точке . Таким образом, вектор силы

(71)

Полная сила может быть вычислена интегрированием по поверхности :

(72)

Если результат (72) разделить на объем , заключенный внутри поверхности , то получившаяся величина

(73)

будет "средней" силой, действующей со стороны среды на любую точку внутри . Физической причиной этого действия является перепад давлений между различными точками среды.

Способность поля (в данном случае поля давлений) оказывать действие на пробное тело является характеристикой самого поля и поэтому не должна зависеть на формы и размеров тела, помещенного в это поле. Будем стягивать поверхность к точке , таким образом, и рассмотрим предел

(74)

Если предел (74) существует, то по смыслу рассуждений он определит плотность силы, действующей со стороны поля (давлений) на точечное тело, помещенное в точку и будет характеризовать быстроту изменения поля (перепад давлений) в окрестности этой точки.

Рассмотрим общий случай скалярного поля . Если для поля существует предел (74) при стягивании поверхности к точке , то он называется градиентом поля в этой точке:

(75)

По определению является вектором и вообще, выражение (75), будучи примененным в каждой точке области определения поля , будет задавать векторное поле градиента .

Формула (75) задает определение в форме, независящей от системы координат - инвариантно. Пользуясь (75), получим формулу вычисления градиента скалярного поля в декартовой системе координат. Тогда, так как вектор нормали :

(76)

Применим к каждому слагаемому (76) формулу Остроградского-Гаусса (3.1):

(77)

Применяя теорему о среднем к правой части (77), получим

(78)

переходя к пределу и сравнивая с определением градиента (75), получим формулу для вычисления градиента в декартовой системе координат:

(79)

Производная по направлению скалярное поле некоторое направление с помощью единичного вектора . вектор определяет координатную ось и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную

(80)

Полученное выражение, учитывая, что - координаты вектора ,можно переписать как скалярное произведение

(81)

Это выражение (81) называется производной по направлению поля .

Из определения (81) следуют свойства градиента:

1. направлен перпендикулярно к линии уровня ;

2. направлен в сторону наискорейшего возрастания функции ;

Формула (79) позволяет получить следующие свойства и правила вычисления :

1.		(82)
2.		(83)
3.	(сложное поле)	(84)

Пример 3-8. Вычислить градиент поля , где - модуль радиус-вектора, .

Решение. Согласно выражению (79), получим

Аналогично, , и тогда, складывая вычисленные производные, получим:

или в бескоординатной форме