Простейшие законы распределения случайной величины

а) Равномерное распределения

Если случайная величина с равной вероятностью может принимать значения в области х₁£х£х₂, то такое распределение называют равномерным (рисунок 20.2а,б).

Рисунок 20.2

Аналитически функция распределения плотности вероятности и интегральная функция распределения записываются следующим образом:

(20.7)

Вычисление первого и второго центрального момента по формулам

и

(20.8)

приводит к следующим результатам

(20.9)

б) Гауссово (нормальное распределение).

Рисунок 20.3

Нормальный закон распределения или закон Гаусса играет важную роль во всех практических приложениях теории вероятностей. На рисунке 20.3а,б соответственно, показаны дифференциальная f(x) и интегральная F(x) функции распределения, которые соответственно записываются:

, где

(20.10)

(20.11)

Последний интеграл не выражается через элементарные функции. Для него введена специальная функция называемая интегралом вероятности или функцией Лапласа, для которой составлены таблицы. Интеграл вероятности обозначают обычно:

(20.12)

Первый начальный и второй центральный моменты, вычисленные по формулам (20.8), для нормального распределения равны:

и

(20.13)

т.е. параметры функции распределения имеют смысл математического ожидания и дисперсии. Для нормального распределения справедливо соотношение

(20.14)

т.е. случайная величина с вероятностью 0,9972 не выходит за пределы 3s. Этот способ оценки возможных значений СВ называют правилом «трех сигм» и часто используют при выборе допусков параметров и других расчетов.

в) Распределение Релея.

При решении радиотехнических задач часто встречаются величины распределенные по закону Релея.

Аналитически, распределение Релея записывается в виде:

(20.15)

График функции f(x) показан на рисунке 20.4.

Рисунок 20.4

Интегральная функция распределения равна

(20.16)

Математическое ожидание СВ распределенной по Релею равно

(20.17)

Второй начальный момент

(20.18)

Дисперсия СВ х имеет значение

(20.19)

Модой функции распределения называют точку, где т.е. точку максимума функции f(x). В данном случае

откуда имеем

т.е.

Таким образом, для релеевского закона в отличие от нормального мода функции распределения не совпадает с положением математического ожидания случайной величины.

В статистической радиотехнике часто используются другие распределения – логорифмически нормальное, гамма распределение, c² – распределение.

Вопросы для самостоятельной подготовки

1. Дайте определения и перечислите свойства интегральной и дифференциальной функции распределения вероятностей.

2. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей.

3. В чем разница между математической и эмпирической (выборочной) вероятностями?

4. Какой физический смысл в радиотехнике имеют математическое ожидание и дисперсия случайного процесса?

5. Определить разброс чувствительности приемника содержащего 7 каскадов усиления с одиночными контурами если крутизна транзистора распределена по нормальному закону и имеет среднее значение Y₂₁=10 мА/В и дисперсию s_Y=2 мА/В, а сопротивление контура Z_р=20 кОм; s_z=4 кОм, усиление одного каскада определяется по формуле N₁=Y₂₁×Z_p, а семи каскадов по формуле N=(N₁)⁷. Вычислите минимальное и максимальное усиление приемника и его разброс в пределах трех сигм.

Решение см. П.П.Месяцев. Применение теории вероятностей и математической статистики при конструировании и производстве радиоаппаратуры. М.,Оборонгиз,1958, (стр. 84 пример 82).