Законы распределения функций случайной величины
Если 
- ДСВ и 
, где 
- неслучайная функция, то 
также ДСВ., причем её возможные значения 
. Если при этом все 
различны (функция 
- строго монотонна), то 
. Если же среди имеются одинаковые значения, то
Если - НСВ и , где - монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая неслучайная функция, то также НСВ., причем
(4.21)
где 
- обратная функция к 
. Если же - немонотонная функция, то
(4.22)
где 
означает 
- й интервал на оси 
, на котором 
. Плотность 
получается дифференцированием 
по 
.
Пример. Пусть 
. Найти закон распределения случайной величины 
.
Решение.
; 
; 
; 
.
Мы получили, что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами 
. Этот пример подтверждает известное свойство линейного преобразования гауссовских случайных величин – сохранение нормальности при линейных преобразованиях.
Задача композиции.
В одном из важных частных случаев функциональной зависимости 
возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент. Если, например, 
- НСВ с известной плотностью совместного распределения компонент 
и 
, то
(4.23)
Если ДСВ, то закон распределения ДСВ записывается в виде
где суммирование распространяется на все значения индексов и 
, для которых выполняется условие 
.
В частности, если - ДСВ с независимыми компонентами, то
(4.24)
Если - НСВ с независимыми компонентами, то формула (4.23) приводится к свертке двух плотностей:
(4.25)
Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин носит название задачи композиции. Описанные выше формулы (4.24) и (4.25) дают непосредственное решение задачи композиции. Формулу (4.25) удобно применять в тех случаях, когда плотности распределения вероятностей компонент описываются одной формулой на всей оси (что, например, справедливо для нормального закона, закона Коши и т.д.). Другой подход к решению задачи композиции основан на применении свойств характеристической функции (см. ниже). Так как 
, то, найдя 
, можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины Z.
Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и У подчиняются закону распределения данного вида, следует, что их сумма X + Y подчиняются закону распределения W того же вида.
Пример. Доказать композиционную устойчивость нормального закона.
5. Характеристические функции случайных величин.Если 
— комплекснозначная случайная величина, где X и Y — действительные случайные величины, то М [Z] = М [X] + i М [У].
Характеристической функцией gx(t) случайной величины X называется комплекснозначная неслучайная функция действительного аргумента t определяемая равенством
Для НСВ характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье от плотности распределения. Поэтому плотность выражается как обратное преобразование Фурье от характеристической функции
Свойства характеристической функции
-
- Если
- характеристическая функция случайной величины и 
то
-
- Если случайные величины
независимы, а 
, то
Характеристической функцией случайного вектора 
называется комплекснозначная неслучайная функция 
действительных переменных 
:
Пример. Найти числовые характеристики 
случайной величины 
, распределённой по закону Пуассона, используя характеристическую функцию.
По свойству 3 находим
Дисперсию находим по формуле 
Окончательно находим
Литература
1. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов: Учебн. пособие для авиационных специальностей вузов/ А, А. Лебедев, В. Т. Бобронников, М. Н. Красильщиков, В. В. Малышев. – М. Машиностроение, 1985.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1999.
3. Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В., Сиротин А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
4. Сборник задач по математике для втузов. Часть 4: /Под общей ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. – М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2003.