И вычисление в декартовой системе координат

Пусть в замкнутой ограниченной пространственной области V, расположенной в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz, определена непрерывная функция Разобьем указанную область произвольным образом на элементарные области объемы которых будем считать соответственно равными Внутри каждой элементарной области выберем произвольную точку

Диаметром области будем называть наибольшее из расстояний между любыми двумя точками границы области. Обозначим через диаметры элементарных областей а через – максимальный диаметр, т. е. Составим интегральную сумму функцииf(x; y; z) в области V:

Устремим так, чтобы Если существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения областиV на частичные области ни от выбора точек внутри каждой из этих областей, то этот предел называетсятройным интегралом от функции f(x; y; z) по области V:

При этом говорят, что функция f(x; y; z)интегрируемав областиV;x,y иzназываютпеременными интегрирования.

Достаточное условие интегрируемости функции: если определенная в некоторой ограниченной замкнутой области функция непрерывна, то она интегрируема в этой области.

Если функции f(x; y; z),f₁(x; y; z) иf₂(x; y; z) интегрируемы в областиV, то имеют место следующие свойства:

1) линейность:

где

2) аддитивность:

где и – области, не имеющие общих внутренних точек;

3) если выполняется неравенство то

4) оценка модуля интеграла:

5) если то

где v – объем областиV.

Геометрический смысл тройного интеграла:

(25.1)

где v– объем областиV.

Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах основано на понятии правильной пространственной области. Область Vназываютправильной в направлении оси Oz, если:

1) всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку пространственной области Vпараллельно осиOz, пересекает только один раз (только одну) «поверхность входа» и только один раз (только одну) «поверхность выхода»;

2) проекция Dпространственной областиVна плоскостьxOyявляется правильной плоской областью в направлении осиOx илиOy.

Пусть область V является правильной в направлении оси Oz, ограниченной снизу поверхностью а сверху – поверхностью (рис. 25.1). Пусть она проектируется на область элементарную в направлении осиOy, и снизу ее ограничивает кривая а сверху – кривая (рис. 25.2).

Рис. 25.1

Рис. 25.2

Тогда справедлива следующая формула:

(25.2)

причем интеграл в правой части равенства называется повторныминтегралом от функции f(x; y; z) по области V с внешним интегрированием по x, а –внутренним интегралом по переменной z.

Аналогично рассматривают пространственные области, правильные в направлении оси Ox илиOy, и применяют соответствующие формулы перехода к повторным интегралам.

Если область интегрирования Vне подпадает под эти случаи, необходимо произвести разбиение этой областиVна конечное число правильных областей и воспользоваться свойством аддитивности.

Пример 1.Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

Решение.1) Изобразим область интегрированияV(рис. 25.3).

Рис. 25.3

Замечаем, что она является правильной в направлении оси Oz: снизу ее ограничивает плоскость а сверху – поверхность эллиптического параболоида К тому же, областьVпроектируется на область плоскостиxOy, которая является правильной областью в направлении осиOy: Вычислим заданный интеграл, перейдя к повторному интегралу по формуле (25.2):

2) Нарисуем область интегрирования V(рис. 25.4).

Рис. 25.4

Расставим пределы интегрирования в декартовой системе координат, учитывая то, что она является правильной в направлении оси Oz:

Вычислим данный интеграл, перейдя к повторному интегралу по формуле (25.2):

3) Изобразим область интегрирования V(рис. 25.5).

Рис. 25.5

Она является правильной в направлении оси Oz:

Перейдем к повторному интегралу по формуле (25.2) и вычислим данный интеграл:

32.Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат. Замена переменных в кратных интегралах Вычисление тройных интегралов в цилиндрической и сферической системах координат.

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Вычисление тройных интегралов вдекартовой системе координат

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области Tтрехмерного пространства задана ограниченная функция трех переменныхf(x,y,z). Разобьем эту область наnDпроизвольных частей с объемамиv_i. В каждой частичной области возьмем произвольную точкуM(x_i,y_i,z_i) и составим сумму:

,

которая называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области T. Если интегральная сумма при n (при этом диаметры всех областей должны стремится к нулю:¥® ) имеет предел, то этот предел называется тройным интегралом:

. (2.1)

Отметим, что тройные интегралы обладают свойствами, аналогичные свойствам двойных интегралов.

Перейдем теперь к вопросу о вычислении тройных интегралов в декартовой системе координат. Предположим, что область Tявляется простой в направлении осиOz, т.е. любая прямая, проведенная параллельно осиOz, пересекает границу областиTне более чем в двух точках. Это означает, что областьTограничена снизу поверхностьюz=z₁(x,y), сверху поверхностьюz=z₂(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными осиOz. Тогда по аналогии с формулой вычисления объемов цилиндрических тел при помощи двойных интегралов, можно получить

. (2.2)

Здесь Dпроекция областиTна плоскостьxOy. Если областьDявляется простой в направлении осиOy, то можно написать

. (2.3)

Отметим, что здесь внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы (т.е. числа), пределы во втором интеграле могут зависеть только от той переменной, которая стоит во внешнем интеграле.

Если в тройном интеграле подынтегральная функция f(x,y,z1, то тройной интеграл будет равен объему области интегрированияº)T, т.е.