Вычисление площади и рамок съемочной трапеции

Съемочная трапеция является частью поверхности земного эллипсоида. Она ограничивается линиями меридианов и параллелей. Вычисление ее площади сводится к вычислениюплощади сфероидической трапеции.

Площадь элементарной сфероидической трапеции dPвычисляется поформуле dP = dx dy = M NcosB dBdL,

где: M dB – длина западной и восточной рамок (меридиана);

NcosBdL – длина южной и северной рамок (параллелей).

Площадь сфероидической трапеции конечных размеров получаем путем почленного интегрирования разложенной в ряд по биному Ньютона подынтегральной функции по степеням первого эксцентриситета е², ограничиваясь членом с е⁶:

Р = b² (L₂ –L₁) [sinB₂ – sinB₁ +I +II +III],

где: I = (2/3)e² (sin³B₂ – sin³B₁),

II = (3/5)e⁴ (sin⁵B₂ - sin⁵B₁),

III = (4/7)e⁶ (sin⁷B₂ - sin⁷B₁).

В а₂ С

C d c

А a₁ D

Для получения конкретных значений размеров рамок съемочной трапеции (определенного масштаба карты) в формулах для длины дуг меридианов и параллелей вводится соответствующий масштабный коэффициент 1/m.

Обычно рамки трапеции выражают в сантиметрах. Поэтому в формулы для длины дуг в числитель дополнительно вводят коэффициент 100. В целом вводится коэффициент 100 / m.

AD = a₁ =100/m ∆L N₁cosB₁; BC = a₂ = 100/ m ∆L N₂cosB₂;

AB=CD=c = 100/ m M_ср. ∆B.

Для M_ср широта B_ср. = (В₁ + В₂)/2

Диагональ AC =d =√а₁а₂ +с² определяется для контроля

Принимая съемочную трапецию за прямоугольник, площадь можно определить контрольные значения как:

Р ≈ [(а₁ + а₂) / 2]c _км2.

Зная размер трапеции (∆B и ∆L) и длины дуг меридиана Х и параллели У, можно вычислить площадь как: Р ≈ Х У км².

Лекция 5. Нормальные сечения

Прямые и обратные нормальные сечения.

Геодезическая линия

P

^b B Нормали двух точек А и В эллипсоида, лежащих

A на различныхмеридианах и широтах, являются

^a 0 пространственно скрещивающимися прямыми не

n_a лежат в одной плоскости и пересекаются с осью

n_b вращения в точках n_а и n_b соответственно.

Проведем нормальную плоскость в точке А так, чтобы она прошла через точку В и образовала след А а В. Назовем полученную кривую А а В прямым нормальным сечением. Аналогично получим обратное нормальное сечение -в виде кривой В b А.

Полученные таким образом кривые А а Ви В b А называются взаимно обратными или просто взаимными нормальными сечениями.

совпадут. Очевидно, что нормальные плоскости совпадают только при условии, если точки А и В лежат на одном меридиане или на одной параллели.

Нормаль к поверхности эллипсоида в любой точке лежит в плоскости меридиана этой точки и всегда пересекает ось вращения эллипсоида. Для точек нашего северного полушария нормали пересекают малую ось между центром эллипсоида и его южным полюсом.