Вычисление площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru определена непрерывная функция Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru и будем пока что считать, что Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru для всех Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Определение 1.Фигуру, ограниченную кривой Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , отрезком Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru оси Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , прямыми Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru и Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , называют криволинейной трапецией.

В отдельных случаях может Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru или Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru и тогда соответствующая сторона трапеции сжимается в точку.

Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции поделим отрезок Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru произвольным образом на п частей точками

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Длины этих частей

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Перпендикуляры к оси Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru проведены из точек деления к кривой Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , разделяют всю площадь трапеции на п узких криволинейных трапеций.

       
    Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru
 
a
 

Заменим каждую из этих трапеций прямоугольником с основанием Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru и высотой Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , где Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Сумма площадей всех таких прямоугольников будет равняться

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Таким образом, площадь S криволинейной трапеции приближенно равняется этой сумме, т.е.

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Эта формула будет тем точнее, чем меньше величина Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Чтобы получить точную формулу для вычисления площади S криволинейной трапеции, надо в этой формуле перейти к пределу, когда Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru . Тогда

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Определение определенного интеграла и его содержание

Пусть функция Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru задана на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru . Разобьем этот отрезок на п частей точками деления

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

В каждом промежутке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru длиной Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru выберем произвольную точку Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru и вычислим соответствующее значение функции

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Получим сумму Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , которую называют интегральной суммой для функции Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , независимый от способа разбиения отрезка Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru на части и выбора точек Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , то этот предел называется определенным интегралом от функции Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru и обозначается

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru . (1)

Математически это определение можно записать так:

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru = Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru (2)

Числа а и b называются нижним и верхним пределом интегрирования.

Функция Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru называется подинтегральной функцией, а Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru – подинтегральным выражением.

Согласно этому формулу для вычисления площади S криволинейной трапеции теперь можно записать в виде

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru . (3)

Основные свойства определенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства

1. Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

2.Для любых чисел Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru имеет место равенство

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

3.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru

5.Если функция Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru всюду на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , то

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

6.Если Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru всюду на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , то

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

7. Если функция Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru интегрируема на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , то

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

8. Если М и т – соответственно, максимум и минимум функции Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru на отрезке Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru , то

Вычисление площади криволинейной трапеции - student2.ru .

Наши рекомендации