Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман

Первообразная функция

Функция F(х)называется первообразной функцией для функции f(х) на некотором интервале (а,b), если F/(х)= f(х), или что тоже самоеdF=f(x) dx Теорема. Если функция F(х) является первообразной функцией для функции f(х), то F(х)+С также является первообразной для f(х), где С-произвольная постоянная величина.Это следует из того, что (F(х)+С)/= F/(х)= f(х).Убедимся, что любые две первообразные F(x) и F(x) функции f(x) различаются на постоянное слагаемое. Имеем: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Тогда разность Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

что и требовалось.

Это выражение F(х)+С называется неопределенным интегралом от функции f(х), и обозначается символом Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . Итак, по определению Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru .

Свойства неопределенного интеграла

1) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru символы d и Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru взаимно сокращаются

2) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Ибо Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru есть первообразная для Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

3) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

4) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на известном дифференциальном равенстве Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru где u и v –функции от аргумента x

Тогда Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru откуда Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru .

Это и есть формула интегрирования по частям.Замена переменной в неопределенном интеграле Предположим, что нам известен неопределенный интеграл

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . Тогда будем иметь: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , где w(x) – произвольная дифференцируемая функция от аргумента x.

Понятие о «не берущихся» интегралах.

Существуют «берущиеся» и «не берущиеся» интегралы.

Неопределенные интегралы вида Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ,

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru (p, k - некоторые постоянные величины), и некоторые другие не выражаются в виде конечной комбинации элементарных функций - они «не берущиеся».

4 Интегрирование дробно-рациональных выражений.

от дробно-рациональных функций вида Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . С этой целью прежде, чем говорить об Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , рассмотрим элементарные (в смысле интегрирования) простые дроби (дробные выражения)

1. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru 2. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru 3. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru 4. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

где А, a, b, р, q- вещественные числа, причем Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru - трехчлен, не имеющий действительных корней, т.е. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

3. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Еще прием для интегрирования таких дробных выражений:

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Тогда Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Деление в ,,уголок’’

Разложение правильных дробей Рm(х)/Qn(x) на простые. Правильная дробь – это дробь вида Рm(х)/Qn(x) , n > m. Если Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , то делением « в уголок» можно представить в виде Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru где Rk (x) – многочлен, а Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . Пусть Рm(x)/Qn(x)- правильная дробь. Разложим знаменатель на множители: Qn Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ( причем k1+k2+…..+2m1+…+2ms=n) Берем многочлен Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; тогда Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru где A - постоянная, подлежащая определению, А=Соnst. Тогда

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru однозначно находим A, поскольку Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . Повторяя процедуру, находим

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru далее повторяем процедуру относительно корня b, тогда

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru и т. д.Так можно перебрать все действительные корни.

7 Упрощение вида Пусть Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Покажем, что равенство Pm (x) – (Ax+B)Qn-2r(x) = Pm-2(x)(x2+px+q) возможно. Для этого

A и B определяем так, чтобы левая часть делилась на x2+px+q. Обозначим остаток от деления Рm(x) на x2+px+q чрез Мx+N, а Qn-2r(x) на x2+px+q – через Zx+K. Тогда задача сводится к подбору А и В, чтобы Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru делилось нацело на x2+px+q.

-АZx2+(M-ZB+Ak) x+N - BK= - AZ(x2+ Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ) пропорционально x2+px+q. Делим и здесь, определяем остаток и требуем, чтобы и этот остаток обратился в нуль. Получаем:

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru 2 уравнения с двумя неизвестными A и B = ? остальные величины в этой системе известные. Можно видеть, что эта система уравнений разрешима относительно A и B.

прежде чем интегрировать правильную дробь Pm(x)/Qn(x), ее надо представить в виде комбинации элементарных в смысле интегрирования дробей вида: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Коэффициенты A,…,С, D, …,М и т.д. удобно находить, решая систему алгебраических уравнений.

10 Интегрирование Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru ; dx// рационально через dt Несколько более общий случай: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , где М – общий знаменатель Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму….

Пусть многочлен, стоящий в знаменателе, удалось разложить на множители: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . Тогда интеграл Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru можно существенно упростить за счет следующих общих выкладок. Берем интеграл от каждого слагаемого. Так, имеем: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru = Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Рациональные части от всех слагаемых объединяем. Получаем в итоге равенство Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Здесь многочлены Q1(x) и Q2(x) таковы:

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Оставшийся интеграл достаточно простой. При нахождении коэффициентов многочленов исходим из последовательности равенств: 1) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru 2) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru 3) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx.

Рассмотрим неопределенный интеграл Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru где R( , ) – рациональная функция от sin x и cos x. Этот интеграл может быть в общем случае сведен к интегралу от рациональной функции, для чего надо подставить Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru .

Имеем Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

х=2arctgt Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Частные случаи

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

1. если Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru или Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru , то можно не применять универсальную подстановку. Пусть, например, m- нечетное

а) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

б) Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

2. Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru и Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru . Тогда понижаем порядок вдвое, приходим к интегралу вида Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru .После возведения в степени p и q и перемножения, снова имеем интегралы вида Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Пример

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru = Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман

Требуется определить площадь криволинейной трапеции АВСД, ограниченной сверху кривой y = f(х), слева и справа прямыми х=а и х=b и снизу прямой у = 0 (осью х). Сначала рассмотрим приближенное решение этой задачи. Разобьем [а,b] точками х0=а, х1, х2,…,хn-1, хn=b; хjj-1=Δ хj-1.

Проведем ординаты (вычислим) f(х0), f(х1), …, f(хn-1), f(хn).

Вычислим суммарную площадь прямоугольников высоты f(х0)…, f(хn-1)

Имеем Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru

Величину σ можно рассматривать в качестве приближенного значения площади. Сумма Σ f(хj) Δхj является примером интегральной суммы.

Разбиение отрезка [а,b] можно характеризовать в данном случае максимальным значением Δхj, которое обозначим λ:

λ=max(Δxj) j=0,1,...,n-1 λ- параметр разбиения. Ему соответствует сумма площадей σ.

Возьмем более «мелкое» разбиение с параметром λ', λ'<λ . Ему соответствует сумма площадей прямоугольников: Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru Измельчая разбиения и устремления параметра λ к нулю, получим последовательность интегральных сумм σ, σ', σ",… Если эта последовательность имеет предел при λ→0, равный S, что можно записать так Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман - student2.ru то этот предел принимают (по определению) за площадь криволинейной трапеции АВСД.

Наши рекомендации