Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.

1. Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

1.1. Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

1.2. Теория Максвелла:

1.2.1. Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.

1.2.2. Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.

1.2.3. Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

1.2.4. Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).

1.2.5. Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.

1.2.6. Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света

1.3. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.

2. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид

2.1. Из выражения для магнитного потока следует

→

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

2.2. Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

2.3. Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

2.4. По теореме Стокса в векторном анализе

где ротор вектора Е выражается определителем

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

3. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.

3.1. Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

3.2. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

с плотностью тока смещения

где D – вектор электрического смещения.

3.4. Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).

3.5. В диэлектрике вектор электрического смещения равен

где Р – вектор поляризованности.

Тогда плотность тока смещения

где – плотность тока смещения в вакууме, а – плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).

3.6. Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.

3.7. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

3.8. По теореме Стокса

а полный ток

вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид

4. Для областей поля, где нет макротоков

где знак минус в первом уравнении Максвелла означает, что вектора Н и dD/dt соответствуют правовинтовой системе, а вектора Е и dB/dt – левовинтовой.

5. Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей

5.1. В интегральной форме эти уравнения имеют вид

где величина свободных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S выражается через объемную плотность заряда

5.2. По теореме Гаусса из векторного анализа

где дивергенция вектора определяется выражением

5.3. В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид

где – объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.

6. Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения

1. 2.

3. 4.

6.1. Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.

6.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.

6.3. Для стационарных электрического и магнитного полей

и, следовательно, эти поля существуют независимо друг от друга и описываются соответственно уравнениями электростатики

и магнитостатики

6.4. Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить "материальными уравнениями", которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды

а также граничными условиями

где σ – поверхностная плотность свободных зарядов, а – вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости.