Общая характеристика методов статистического моделирования

На этапе исследования объектом моделирования и построении имитационных моделей широко используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значениях случайной величины с заданным распределением вероятностей.

Статистическое моделирование представляет собой метод получения на ЭВМ статистических данных о процессе, происходящем в моделируемом объекте. Для получения оценок характеристик исследуемой модели статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики (предельные теоремы теории вероятности).

Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемого объекта некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов объекта с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения статистического моделирования:

- для изучения стохастических моделей;

- для решения детерминированных задач.

Для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической модели, выходные характеристики которой совпадают с результатом решения детерминированной задачи. При такой замене вместо точного решения получается приближенное и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний N.

В результате статистического моделирования объекта получается серия частных замен искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования объекта приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования исследуемого объекта.

Пусть необходимо методом статистического моделирования решить детерминированную задачу. Проводится s=10 независимых выстрелов по мишени, причем вероятность попадания при одном выстреле задана и равна р. Требуется оценить вероятность того, что число попаданий в мишень будет четным: 0, 2, 4, 6, 8, 10.

Данная задача является вероятностной, причем существует ее аналитическое решение

.

В качестве объекта исследования можно рассмотреть статистическую модель, представленную на рисунке 15.

Рисунок 15 – Структурная схема статистической модели

Элементы структурной схемы, представленной на рисунке 10, выполняют следующие функции:

если xi<p; в противном случае

анализ А1: ;

суммирование С: ;

	если hj - четное; в противном случае

анализ А2: ..

Выходным воздействием в данной системе является событие четного числа попаданий в мишень в серии из десяти выстрелов. В качестве оценки выходной характеристики необходимо при числе испытаний (серии выстрелов), равном N, найти вероятность четного числа попаданий:

.

Таким образом, после обращения к генератору случайных чисел, получаем значение x_i случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0,1). Вероятность попадания случайной величины в интервал (0,р), где р£1, равна длине этого отрезка, т.е. P{x_i<p}=p. Поэтому при каждом моделировании выстрела полученное случайное число x_i сравнивается с заданной вероятность р (используется неравенство (13)) и при x_i<p регистрируется попадание в мишень, в противном случае – промах. Далее моделируются серии из 10 испытаний каждая, подсчитывается четное число попаданий в каждой серии и находится статистическая оценка искомой характеристики P(y).

Подход к использованию статистического моделирования независимо от природы исследуемого объекта является общим. Но при статистическом моделировании детерминированной модели необходимо предварительно построить стохастическую модель, выходные характеристики которой, позволяют оценить искомые.

24 Понятие о планирование эксперимента. Понятия уровня, фактора, «черный ящик»

Задача планирования эксперимента заключается в получении необходимой информации об объекте исследования при различных ограничениях на ресурсы. Частная задача планирования – увеличение точности и достоверности результатов моделирования, проверка адекватности модели и т.д.

При проведении на ЭВМ эксперимента с моделью наиболее важное значение имеют:

- простота повторения условий эксперимента;

- возможность управления экспериментом (прерывание, возобновление работы и т.д.);

- легкое варьирование условиями эксперимента (воздействие внешней среды);

- наличие корреляции между последовательностью точек в процессе моделирования;

- трудности, связанные с установлением интервала моделирования (0,Т).

Существует два вида планирования эксперимента:

- стратегическое – это получение необходимой информации об объекте исследования с помощью модели, реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряжении эксперимента;

- тактическое – это определение способа проведения каждой серии испытаний имитационной модели, предусмотренных планом эксперимента.

Поскольку математические методы планирования эксперимента основаны на кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента, то наиболее подходящей абстрактной моделью исследуемого объекта (процесса) может служить «черный ящик». При этом различают входные и выходные переменные: x₁, x₂, ¼, x_k;
y₁, y₂, ¼, y_l. В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может быть либо фактором, либо реакцией. Если цель эксперимента – изучение влияния x_i на y_i, то x_i – фактор, y_i – реакция.

Каждый фактор x_i, может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний исследуемого объекта. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одно из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством.

При планировании эксперимента необходимо определить основные свойства факторов, поскольку фактор может быть:

- управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента;

- наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются;

- изучаемым, если он включен в модель для изучения свойств объекта;

- количественным, если его значения – числовые величины, влияющие на реакцию, в противном случае фактор называется качественным;

- фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие исследователя значения фактора;

- случайными, если исследователь изучает только некоторую случайную выборку факторов из всей их совокупности.

Свойства объекта исследования можно описывать при помощи различных моделей планирования. Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность (способность объяснять известные факторы, выявить новые и предсказать их дальнейшее развитие), простота (реализация эксперимента на ЭВМ) и т.д.

Планирование эксперимента может быть пассивным и активным.

Пассивный эксперимент – эмпирические уравнения, полученные на различных этапах изучения процесса. Недостаток – бесплановость, случайность «опытов». Активный эксперимент – это эксперимент, проводимый на основе теории статистического планирования экспериментов.