Анализ оптимального решения задач ЛП

Рассмотрим важнейшую с точки зрения практики проблему анализа оптимального решения задачи ЛП с целью принятия адекватного управленческого решения. Хотя и сам по себе оптимальный план чрезвычайно полезен, часто бывает гораздо интереснее знать, как можно изменить те или иные параметры системы (считавшиеся неизменными в ходе решения), чтобы улучшить решение, получить еще большую прибыль, уменьшить издержки или усовершенствовать стратегию управления организацией.

Модели оптимизации прибыли или издержек большого предприятия могут содержать огромное количество переменных. Поэтому попытки наугад или с помощью простого перебора вариантов изменить те или иные параметры, чтобы улучшить функционирование управляемой системы, обречены на неудачу. В этой ситуации только использование концепции теневых цен и интервалов устойчивости, выдаваемых в отчете об устойчивости оптимального решения, позволяет нащупать наиболее эффективные рычаги управления.

Получение оптимального решения оптимизационной задачи вообще и задачи линейного программирования в частности — это не конец, а фактически только начало работы менеджера с количественной моделью. При формулировке модели, как уже отмечалось, величины, количественно характеризующие ту или иную систему или управленческую ситуацию, разбиваются на две группы. Первая группа — это величины, которые субъект, принимающий решение, должен менять в ходе поиска оптимума целевой функции. Они были названы переменными решения. Нахождение оптимальных значений для переменных решения (для «неизвестных») и составляет содержание процесса «принятия решения» в данном случае. Переменные второй группы величин в ходе поиска оптимума целевой функции должны считаться постоянными. Они были названы параметрами. Ясно, что значения параметров определяют оптимальные значения переменных и целевой функции. Некоторые параметры действительно трудно поддаются изменению. Например, параметры, характеризующие технологический процесс (в первом примере, разобранном нами, это величины расхода ДСП, стекла и рабочего времени на один шкаф и одну тумбу), вряд ли могут быть изменены менеджером. Этот вопрос должен решаться специалистом–технологом. Однако изменение доступных для производства ресурсов (в упомянутом примере — запасы ДСП, стекла и рабочей силы на день) находится, разумеется, в компетенции менеджера производственного отдела. Вопрос об отпускных ценах на продукцию цеха (а, следовательно, об изменении прибыли от продажи единицы продукции каждого типа) — это также управленческий вопрос. Таким образом, многие параметры модели могут (и должны) изменяться менеджером с целью поиска путей улучшения работы системы. Поскольку изменение параметров модели часто связано с привлечением дополнительных финансовых ресурсов, необходимо ответить на ряд вопросов:

1. какой ресурс наиболее сильно влияет на изменение прибыли (издержек)?

2. как изменится решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса?

3. если какой-либо продукт не входит в оптимальный план, а по каким-то неформализуемым причинам желательно, чтобы он в него входил, то какой параметр и в каком направлении следует изменить? И т.д.

Поиск ответов на подобные вопросы и составляет сущность анализа решения. Таким образом, анализ решения должен дать менеджеру ясное представление о том, как будет изменяться решение при том или ином изменении параметров. Когда речь идет о задаче ЛП, существенная информация о влиянии изменения параметров на оптимальное решение накапливается, собственно, программой в ходе поиска решения. MS Excel представляет эту информацию в виде отчета об устойчивости. Ответ на многие вопросы может быть получен на основе анализа этого отчета. Другие вопросы могут потребовать проведения дополнительных расчетов типа «что, если...». Для того чтобы сформировать интуитивное представление о том, как может меняться решение задачи ЛП при изменении параметров, полезно получить и проанализировать графическое решение нашего первого «игрушечного» примера об оптимальном плане мебельного цеха, а также познакомиться с понятием двойственности задач линейного программирования.

Отчет об устойчивости

В процессе поиска оптимального решения MS Excel формирует так называемый отчет об устойчивости, в котором, в частности, выдает интервал изменений коэффициентов целевой функции, внутри которого их изменение не приводит к изменению оптимального решения. Для получения этого отчета, после того как «Поиск решения»нашел оптимальное решение, нужно в окне «Результаты поиска решения», перед тем как нажать на кнопку Ok, щелкнуть мышкой по строке «Устойчивость»в списке «Тип отчета»(см. рис. 9).

Примечание.Если «Поиск решения»уже был выполнен, надо сбросить параметры задачи (в окне «Поиск решения»надо нажать кнопку «Восстановить», рис. 10), после этого в окне «Поиск решения»заново ввести параметры задачи

Рисунок 9 – Вид окна «Результаты поиска решения»

Рисунок 10 – Вид окна «Поиск решения»

Тогда после нажатия на кнопку Ok MS Excel создаст дополнительный лист «Отчет об устойчивости». Распечатка такого отчета для задачи об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха дана на рис. 11.

Рисунок 11 – Отчет об устойчивости MS Excel для примера «Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха»

Первая таблица отчета об устойчивости «Изменяемые ячейки»содержит столбцы «Целевой коэффициент», «Допустимое увеличение»и «Допустимое уменьшение». В первом из них даны исходные значения целевых коэффициентов: прибыль от продажи одного шкафа (200 у.е.) и одной тумбы (100 у.е.). Второй и третий столбцы содержат информацию об интервале устойчивости найденного оптимального решения. При увеличении прибыли от продажи шкафа до 350 у.е. (на 150 у.е. больше исходного значения) и при ее уменьшении до 100 у.е. (на 100 у.е. меньше исходного значения) оптимальное решение не изменяется. Аналогично второй целевой коэффициент может изменяться в пределах от 57,14 у.е. (уменьшение на 42,86 у.е. относительно исходного значения) до 200 у.е. (увеличение на 100 у.е. относительно исходного значения).

Во второй таблице отчета об устойчивости «Ограничения»аналогичные интервалы устойчивости установлены для запасов ресурсов «ДСП», «Стекло», «Труд»(столбцы «Ограничения, правая часть», «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение»). Однако смысл этих интервалов несколько иной. Для того чтобы понять, что это такое, необходимо рассмотреть двойственную задачу к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха.