Графический анализ на чувствительность

После того как оптимальное решение ЗЛП найдено можно поставить дополнительные вопросы [Таха 1]:

- насколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов и как это отразится на значении целевой функции;

- изменение какого из ресурсов наиболее выгодно;

- в каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции, при которых оптимальное значение целевой функции не изменяется.

Исследование влияния изменения параметров исходной ЗЛП на полученное оптимальное решение называется анализом на чувствительность.

Если количество переменных ЗЛП равно двум, исследование на чувствительность можно провести графическим методом.

Рассмотрим задачу, решенную в п. 1.2. Напомним условие: при производстве двух товаров А и В используется три вида ресурсов: R1, R2, R3, требуется максимизировать прибыль. Таким образом, имеются три ограничения на ресурсы.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru , (ресурс R1) (1)

Графический анализ на чувствительность - student2.ru , (ресурс R2) (2)

Графический анализ на чувствительность - student2.ru , (ресурс R3) (3)

Ограничения на ресурсы делят на две группы — активные (связывающие) и неактивные (несвязывающие), а соответствующие им ресурсы называют дефицитными и недефицитными. Активным ограничениям соответствуют прямые, ограничивающие область допустимых планов Графический анализ на чувствительность - student2.ru и проходящие через оптимальную точку.

Дефицитные ресурсы в оптимальной точке используются полностью, а недефицитные имеются в некотором избытке.

1. Интервалы устойчивости оптимального плана по отношению к изменению неактивных ограничений. Так как недефицитный ресурс имеется в некотором избытке, представляет интерес найти предельно допустимое уменьшение объемов этого ресурсов, которое не меняет найденное оптимальное значение целевой функции.

В нашем случае ресурсы R2 и R3 являются активными, а ресурс R1 — неактивным. На рис. 1.5. в круглых скобках указан номер соответствующего ресурса.

Продолжим прямую АС, соответствующую неактивному ограничению Графический анализ на чувствительность - student2.ru (1), и перенесем ее параллельно самой себе до пересечения с точкой D. Значение ресурса R1 в точке D равно Графический анализ на чувствительность - student2.ru , максимальное уменьшение ресурса Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Таким образом, запасы ресурса R1 можно уменьшить на 20 единиц, значение целевой функции при этом не изменится.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.5. Уменьшение объема недефицитного ресурса R1

2. Оценки ограничений на дефицитные ресурсы.Дефицитные ресурсы в оптимальной точке используются полностью. Так как сокращение объема дефицитного ресурса не улучшает оптимальное значение целевой функции, представляет интерес выяснить, на сколько можно увеличить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального плана. Напомним, что найденное оптимальное значение целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru у.е.

Рассмотрим дефицитный ресурс R2 и соответствующее ему активное ограничение Графический анализ на чувствительность - student2.ru (2). На рис. 1.6. этому ограничению соответствует прямая DC. Продолжим пунктирными линиями прямые ЕС и АС, соответствующие ограничениям (1) и (3). Они пересекутся в точке F. Прямую DC можно параллельным перемещением переместить так, чтобы она проходила через точку F. Таким образом, в этой точке все три ограничения становятся активными и оптимальная точка перемещается в точку F.

Найдем координаты точки F, решив систему:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru (1.15)

Результат решения системы Графический анализ на чувствительность - student2.ru , Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Новый уровень запаса ресурса R2 при этом составит Графический анализ на чувствительность - student2.ru Максимальное увеличение ресурса составит Графический анализ на чувствительность - student2.ru единиц.

Как видно из рисунка 1.6, значение целевой функции при этом увеличится, так линия уровня целевой функции сместится в направлении градиента. Таким образом, запасы ресурса R2 можно увеличить на 20 единиц, оптимальное значение целевой функции при этом улучшится.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.6. Увеличение объема дефицитного ресурса R2

Доход составит Графический анализ на чувствительность - student2.ru у.е., прирост Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Рассчитаем оценку ограничения на ресурс R2, характеризующую «вклад» дополнительной единицы ресурса в прирост максимального значения целевой функции.

Ценность дополнительной единицы ресурса равна отношению максимального приращения целевой функции к максимально допустимому приросту ресурса: Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

В нашем случае Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Рассмотрим дефицитный ресурс R3 и соответствующее ему активное ограничение Графический анализ на чувствительность - student2.ru (3). На рис. 1.7. этому ограничению соответствует прямая ED. Продолжим пунктирной линией прямую DС, соответствующую ограничению (2). Она пересечет ось в точке G c координатами Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Прямую ED тоже можно параллельным перемещением переместить так, чтобы она проходила через точку G. Таким образом, в этой точке все ограничения становятся активными и оптимальная точка перемещается в точку G.

Новый уровень запаса ресурса R3 составит Графический анализ на чувствительность - student2.ru Максимальное увеличение ресурса Графический анализ на чувствительность - student2.ru единиц. Доход составит Графический анализ на чувствительность - student2.ru у.е., прирост Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.7. Увеличение объема дефицитного ресурса R3

Оценка ограничения на ресурс R3 равна Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Для недефицитного ресурса R1 оценка равна нулю, так как Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Подведем итоги оценки ресурсов:

Ресурс Тип ресурса Оценка
R1 Недефицитный
R2 Дефицитный 1/3
R3 Дефицитный 5/6

Ценность дополнительной единицы ресурса R2 = 1/3 у.е. на 1 единицу продукции. Ценность дополнительной единицы ресурса R3 = 5/6 у.е. на 1 единицу продукции. Следовательно, в первую очередь надо увеличивать ресурс R3.

3. Интервалы устойчивости для каждого коэффициента целевой функции. Рассмотрим, в каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции без изменения оптимального решения.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.8. Положение линия уровня, соответствующего оптимальному решению

На рис. 1.8. пунктиром изображена прямая, соответствующая линии уровня целевой функции, проходящей через оптимальную точку D. При изменении коэффициентов целевой функции, наклон прямой изменяется, оптимальное значение целевой функции при этом остается неизменным.

Пусть активные ограничения (прямые линии) имеют вид Графический анализ на чувствительность - student2.ru и Графический анализ на чувствительность - student2.ru тогда интервалы изменения коэффициентов Графический анализ на чувствительность - student2.ru и Графический анализ на чувствительность - student2.ru целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru , при которых точка D остается единственной оптимальной точкой, найдутся из условия:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru или Графический анализ на чувствительность - student2.ru . (1.16)

Линии MN Графический анализ на чувствительность - student2.ru и KL Графический анализ на чувствительность - student2.ru на рис. 1.8. показывают возможные крайние положения линии целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru , при которых точка D остается оптимальной.

В нашем случае Графический анализ на чувствительность - student2.ru , Графический анализ на чувствительность - student2.ru , Графический анализ на чувствительность - student2.ru , Графический анализ на чувствительность - student2.ru , выполнено Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Следовательно, условия примут вид:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru или Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Если один из коэффициентов, например, цена товара А Графический анализ на чувствительность - student2.ru , не изменяется, тогда интервал изменения второго коэффициента удобнее найти из условия Графический анализ на чувствительность - student2.ru , то есть Графический анализ на чувствительность - student2.ru Þ Графический анализ на чувствительность - student2.ru Þ Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Значит, при сохранении цены на товар А, цену за единицу товара В можно увеличить до 6 у.е., то есть изменить ее на на 1 у.е., а можно сделать понизить цену до 15/4=3.75 у.е. Таким образом, можно определить интервал устойчивости коэффициента Графический анализ на чувствительность - student2.ru , при котором оптимальное значение целевой функции и оптимальная точка D остаются неизменным. При Графический анализ на чувствительность - student2.ru оптимальными точками станут все точки отрезка DC.

Пусть теперь цена за единицу товара B остается постоянной, Графический анализ на чувствительность - student2.ru , тогда интервал изменения первого коэффициента Графический анализ на чувствительность - student2.ru удобнее искать из условия

Графический анализ на чувствительность - student2.ru Þ Графический анализ на чувствительность - student2.ru Þ Графический анализ на чувствительность - student2.ru Þ Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

При сохранении цены на товар В цену за единицу товара А можно увеличить до 4 у.е., то есть изменить ее на на 1 у.е., или снизить цену до 2.5 у.е. Таким образом, можно определить интервал устойчивости коэффициента Графический анализ на чувствительность - student2.ru , при котором оптимальное значение целевой функции остается неизменным. При Графический анализ на чувствительность - student2.ru оптимальными точками станут все точки отрезка ED.

Задача Т50.

Консервный завод Popeye перерабатывает за смену 60000 фунтов помидоров (7 пенсов центов за фунт) в томатный сок и пасту. Готовая продукция пакетируется в упаковки по 24 банки. Производство одной банки сока требует одного фунта спелых помидоров, а одной банки пасты — трети фунта. Заводской склад может принять за смену только 2000 упаковок сока и 6000 упаковок пасты. Оптовая цена одной упаковки томатного сока составляет 18 долл., одной упаковки томатной пасты — 9 долл.

Решите задачу графическим методом. Выпишите ответ оптимальный план и соответствующее значение целевой функции.

Обоснуйте, что найденный план — оптимальный.

Проведите исследование чувствительности найденного плана к изменению параметров задачи.

Укажите интервалы устойчивости для каждого коэффициента целевой функции.

Решение.Построим математическую модель задачи.

1). Искомые переменные задачи:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — количество произведенных упаковок томатного сока;

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — количество произведенных упаковок томатной пасты.

2). Ограничения задачи.

а) Ограничения на ресурсы. Расход используемых ресурсов не должен превышать их запас.

Первый ресурс задачи (R1) — объем помидоров, 60000 фунтов. Для производства одной упаковки томатного сока, которая вмещает 24 банки, требуется 24(банки) Графический анализ на чувствительность - student2.ru 1(фунт)=24 фунта спелых помидоров. Для производства одной упаковки пасты, которая вмещает тоже 24 банки, требуется 24(банки) Графический анализ на чувствительность - student2.ru 1/3(фунт)=8 фунтов спелых помидоров. Следовательно, ограничение на первый ресурс имеет вид: Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Второй ресурс задачи (R2) — ресурс склада по приему упаковок сока, не более 2000 упаковок: Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Третий ресурс задачи (R3) — ресурс склада по приему упаковок пасты, не более 6000 упаковок: Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

b) Ограничения на знак. Объемы производства не могут быть отрицательными.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru , Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

3). Целевая функция Графический анализ на чувствительность - student2.ru максимизирует общую стоимость произведенной продукции.

Запишем математическую постановку задачи максимизации в стандартном виде:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Или в виде:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Графическое решение приведено на рис. 1.9.

Искомая область допустимого плана Графический анализ на чувствительность - student2.ru ограничена многоугольником OACDE. Точка D является оптимальной точкой. Оптимальный план производства Графический анализ на чувствительность - student2.ru , значение целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru долл.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.9. Область допустимого плана Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Покажем, что найденный план оптимален. Выпишем градиент целевой функции и внешние нормали прямых, ограничивающих допустимое множество.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Оптимальная вершина D (точка пересечения ограничений R1 и R3) обладает тем свойством, что вектор-градиент целевой функции, вычисленный в этой точке, лежит внутри конуса (в двумерном случае — в пределах осевого сечения конуса), натянутого на вектора внешних нормалей к ограничивающим прямым, проходящим через точку D.

На рис. 1.10. показано, что вектор-градиент целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru лежит между векторами внешних нормалей к ограничивающим прямым ED и DC, проходящим через точку D. Следовательно, D — оптимальная вершина, найденный план оптимален.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.10. Градиент целевой функции и внешние нормали прямых, ограничивающих область Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Проведем исследование чувствительности найденного плана к изменению параметров задачи.

Укажем сначала интервалы устойчивости для каждого коэффициента целевой функции.

Найденный при коэффициентах С=(18,9) оптимальный план Графический анализ на чувствительность - student2.ru остается оптимальным при выполнении условия: Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Зафиксируем цену на томатный сок Графический анализ на чувствительность - student2.ru =18, тогда 6≤ Графический анализ на чувствительность - student2.ruГрафический анализ на чувствительность - student2.ru . Допустимые изменения цены на пасту, при которых оптимальный план не улучшится D Графический анализ на чувствительность - student2.ru = Графический анализ на чувствительность - student2.ru - 9, D Графический анализ на чувствительность - student2.ru [–3; Графический анализ на чувствительность - student2.ru ].

Если зафиксируем цену на пасту Графический анализ на чувствительность - student2.ru =9, то 0≤ Графический анализ на чувствительность - student2.ru ≤27. Допустимые изменения цены на томатный сок D Графический анализ на чувствительность - student2.ru = Графический анализ на чувствительность - student2.ru –18, D Графический анализ на чувствительность - student2.ru [–18; 9].

Определим, какие ограничения задачи являются активными и неактивными. Так как оптимальная точка находится на пересечении прямых, соответствующих ограничениям R1 и R3, эти ограничения являются активными, здесь R1 — ограничение на ресурс сырья (помидоров), R3 — ограничение на ресурс склада по приему упаковок пасты.

Найдем интервалы устойчивостиоптимального плана по отношению к изменению неактивных ограничений.

Рассмотрим неактивное ограничение R2 на ресурс склада по приему упаковок сока.

При достаточно малом изменении правых частей неактивных ограничений найденный оптимальный план остается допустимым и оптимальным. Возникает вопрос:

На сколько единиц можно сократить правую часть неактивного ограничения, чтобы найденный оптимальный план мог быть реализован?

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Из рис. 1.10 видно, что прямую АС можно перенести влево параллельно самой себе до пересечения с точкой D. Значение ресурса в точке А(2000,0) равно Графический анализ на чувствительность - student2.ru , а в точке D(500,6000) равно Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Вычислим изменение ресурса D Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Объемы ресурса R1 можно уменьшить на 1500 единиц, при этом значение оптимального плана не изменится.

Заметим, что прямую АС можно перенести вправо параллельно самой себе на любой расстояние. При этом оптимальный план не изменится. Увеличение недефицитного ресурса не меняет значение оптимального плана.

Ограничение R2 может меняться от 500 до +¥, что не приводит к изменению оптимального плана. Результаты анализа правой части неактивного ограничения:

Ограничение Интервал устойчивости оптимального плана Изменение выручки Оценка ресурса
R2=2000 Может меняться от 500 до +¥

Рассчитаем оценки ограничений на дефицитныересурсы, характеризующие «вклад» дополнительной единицы ресурса в прирост максимального значения целевой функции. R1 и R3 — активные ограничения на ресурсы.

Рассмотрим R1 – ограничение на ресурс сырья.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

а). При увеличении объема ресурса R1.

Перенесем прямую (1), соответствующую ограничению R1, параллельно самой себе вправо (пунктирная линия). При этом все остальные ограничения остаются выполненными. Оптимальная точка D переместиться в точку F. Областью допустимых значений станет прямоугольник OAFE (рис. 1.11).

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.11. Возможное изменение объема ресурса R1

Оптимальный план Графический анализ на чувствительность - student2.ru также изменится, обозначим его Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Рассчитаем новый уровень запаса 24×2000+8×6000=96000, прирост запаса Графический анализ на чувствительность - student2.ru 96000-60000=36000. Значение целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru =18×2000+9×6000=90000 и ее изменение Графический анализ на чувствительность - student2.ru 90000-63000=27000.

Оценка ресурса равна Графический анализ на чувствительность - student2.ru / Графический анализ на чувствительность - student2.ru 27000/36000=0.75.

б). При уменьшении объема ресурса R1.

Перенесем прямую (1), параллельно самой себе влево (штрих-пунктирная линия) на рис. 1.11.

Оптимальная точка D переместиться в точку Е. Областью допустимых значений станет треугольник OAE.

Новый оптимальный план Графический анализ на чувствительность - student2.ru , уровень запаса при этом составит 24×0+8×6000=48000, а прирост запаса — Графический анализ на чувствительность - student2.ru 48000-60000= -12000. Значение Графический анализ на чувствительность - student2.ru =54000. Изменение значения целевой функции: Графический анализ на чувствительность - student2.ru 54000-63000=-9000.

Оценка ресурса равна Графический анализ на чувствительность - student2.ru / Графический анализ на чувствительность - student2.ru -9000/(-12000)=0.75.

Рассмотрим R3 — ограничение на ресурс склада по количеству мест для хранения пасты:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

а). При увеличении объема ресурса R3.

Перенесем прямую (3), соответствующую ограничению R3, параллельно самой себе вверх (пунктирная линия). При этом все остальные ограничения остаются выполненными. Оптимальная точка D переместиться в точку F. Областью допустимых значений станет трапеция OAСF (рис. 1.12).

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Рис. 1.12. Возможное изменение объема ресурса R3

Новый оптимальный план изменится: Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Уровень запаса при этом будет равен 7500, прирост запаса составит:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru 7500-6000=1500.

Значение целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru 18×0+9×7500=67500 и ее изменение составит Графический анализ на чувствительность - student2.ru 67500-63000=4500. Оценка ресурса равна Графический анализ на чувствительность - student2.ru / Графический анализ на чувствительность - student2.ru 4500/1500=3.

б). При уменьшении объема ресурса R3.

Перенесем прямую (3), соответствующую ограничению R3, параллельно самой себе вниз (штрих-пунктирная линия). При этом все остальные ограничения остаются выполненными. Оптимальная точка D переместиться в точку С. Областью допустимых значений станет прямоугольник OAСG (рис. 1.12).

Новый оптимальный план изменится: Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Новый уровень запаса равен 7500, прирост запаса — 1500, прирост запаса Графический анализ на чувствительность - student2.ru 1500-6000= -4500.

Графический анализ на чувствительность - student2.ru =18×2000+9×1500=495000,

Графический анализ на чувствительность - student2.ru 49500-63000=-13500.

Оценка ресурса равна Графический анализ на чувствительность - student2.ru / Графический анализ на чувствительность - student2.ru -13500/(-4500)= 3.

Оценка ресурсов:

Ресурс Тип ресурса Оценка
R1 Дефицитный 0.75
R2 Недефицитный
R3 Дефицитный

Подведем итог. Ценность дополнительной единицы ресурса R1 = 0.75 долларов на 1 фунт спелых помидоров. То есть при увеличении запасов сырья (спелых помидоров) на 1 фунт прибыль увеличиться на 0.75 долларов.

Ценность дополнительной единицы ресурса R3 = 3 долларов на 1 дополнительное место для хранения упаковок пасты.

Следовательно, в первую очередь надо увеличивать ресурс R3 — количество мест на складе для хранения упаковок пасты.

Количество мест на складе для хранения упаковок сока увеличивать не следует, так как это не дефицитный ресурс.

Найдем интервал изменения каждого активного ограничения, в пределах которого его оценка целевой функции не меняется.

Интервал устойчивости найденной оценки ресурса R1, запаса сырья спелых помидоров в фунтах:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru ,

Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Интервал для R1 [48000,96000], оценка 36000/48000=0.75

Интервал устойчивости найденной оценки ресурса R3, количества мест на складе для хранения пасты:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Интервал для R1 [1500,7500], оценка 18000/6000=3.

Таким образом, основные направления анализа решения на чувствительность включают исследования возможности изменения запасов ресурсов и коэффициентов целевой функции, выявление приоритетных ресурсов путем определения «ценности» дополнительной единицы ресурсов.

Анализ полученного оптимального решения задачи линейного программирования при заданных ограничениях позволяет в первом приближении «поработать» с полученным решением, попытаться его улучшить.

Симплекс-метод

В реальных задачах линейного программирования количество управляемых переменных значительно больше двух, количество ограничений также велико и поиск Графический анализ на чувствительность - student2.ru простым перебором значений целевой функции Графический анализ на чувствительность - student2.ru во всех вершинах или перемещением соответствующей гиперплоскости даже с использованием компьютера является нерациональным. На практике для решения ЗЛП используются различные модификации симплекс-метода, численный алгоритм которого легко реализуется на компьютере.

Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, определяемого системой неравенств Графический анализ на чувствительность - student2.ru , после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по любому ребру из текущей вершины к соседней вершине не увеличивает значения функционала, считается, что оптимальное значение найдено.

В классическом симплекс-методе по умолчанию предполагается неотрицательность искомых переменных Графический анализ на чувствительность - student2.ru и Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Последовательность вычислений для решения задачи максимизации симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:

1) выбор исходной вершины множества допустимых решений;

2) последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.

При этом в некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, например, когда во всех ограничениях Графический анализ на чувствительность - student2.ru (тогда нулевой вектор совершенно точно является допустимым решением, хотя и далеко не самым оптимальным). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить.

Рассмотрим стандартную задачу линейного программирования в матричном виде:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

c дополнительными условиями

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Для применения симплекс-метода задачу нужно записать в каноническом виде:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Графический анализ на чувствительность - student2.ru (1.17)

Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Здесь Графический анализ на чувствительность - student2.ru — новые переменные, которые вводятся, чтобы все ограничения переписать в виде равенств.

Запишем задачу для удобства в матричном виде:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru . (1.18)

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

Здесь:

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — управляемые переменные исходной задачи (1.17),

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — новые переменные, дополняющие старые таким образом, что неравенство Графический анализ на чувствительность - student2.ru переходит в равенство,

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — коэффициенты исходной линейной целевой функции,

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — переменная, которую необходимо максимизировать.

Разница между числом переменных Графический анализ на чувствительность - student2.ru и уравнений Графический анализ на чувствительность - student2.ru даёт нам число степеней свободы Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Тогда мы можем присвоить этому числу переменных какие-то значения и назвать их свободными. Остальные переменные при этом будут вычисляться однозначно, и называться базисными. В нашем случае так называемое начальное допустимое решение (вершина, из которой мы начнём движение) очевидно, Графический анализ на чувствительность - student2.ru . Будем считать Графический анализ на чувствительность - student2.ru свободными переменными, все новые переменные будем считать базисными. При этом значения базовых переменных Графический анализ на чувствительность - student2.ru вычисляются однозначно: Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Приведём шаги алгоритма. На каждом шаге мы будем двигаться по какому-то ребру к новой вершине. Одна из свободных переменных станет базисной, одна из базисных станет свободной, и система (2) перейдёт в систему

Графический анализ на чувствительность - student2.ru

где

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — базисные переменные начального или предыдущего шага;

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — свободные переменные начального или предыдущего шага;

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — коэффициенты вектора Графический анализ на чувствительность - student2.ru , соответствующие базисным переменным в том случае, когда на очередном шаге некоторые из первоначально свободных переменных Графический анализ на чувствительность - student2.ru переместятся в базисные (переменным Графический анализ на чувствительность - student2.ru всегда соответствует Графический анализ на чувствительность - student2.ru );

Графический анализ на чувствительность - student2.ru — столбцы матрицы Графический анализ на чувствительность - student2.ru , соответствующие базисным переменным.

Матрицу, образованную оставшимися в Графический анализ на чувствительность - student2.ru столбцами обозначим Графический анализ на чувствительность - student2.ru .

Наши рекомендации