Дополнительный член формулы Лагранжа.

Интерполирование функций.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть для некоторой функции f(x), определённой на [a, b] вычислены (m+1) её значений в точках x_0, x_{1, …,} x_m: f(x₀), f(x₁), f(x_m) и требуется по этим значениям вычислить значение f(x) при некотором новом значении x. В этом состоит простейшая задача интерполирования. Обычно задачу понимают так: ищется многочлен L(x) наинизшей степени, который в заданных точках x_i (k=0,1,…, m), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f(x_i), что и функция f(x), и приближённо полагают для любого x из [a, b] f(x)@L(x).

Подобное приближённое равенство называется интерполяционной формулой. Итак, нужно прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем при определённых предположениях относительно функции f(x) - оценить погрешность приближённой формулы.

Для отыскания многочлена L(x), удовлетворяющего условиям L(x_i) = f(x_i) (i=0,1,…,m), удобно ввести базисный многочлен m-й степени l_k(x), k=0,1,…,m, который, соответственно индексу, принимает значение 1 при x = x_k и обращается в 0 при x=x_i, если i ¹ k.

Замечание 1.Индекс этого многочлена, в отличие от общепринятых обозначений многочленов, указывает не степень, а номер многочлена k.

Конкретизируем многочлен l_k(x). Так как при при x=x_i, если i ¹ k имеет место l_k(x)=0, то его можно записать в виде:

так как при x = x_k имеет место l_k(x)=1, то подставляя в выражение l_k(x) значения x = x_k и приравнивая результат единице, получим:

В результате получим:

, (1)

а многочлен L(x)= вычисляется по формуле:

(2)

Тогда многочлен удовлетворяет всем из условий L(x_i) = f(x_i). Степень этого многочлена не выше m и значит условиями L(x_i)=f(x_i) он определяется однозначно; его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближённое равенство f(x)@L(x)- интерполяционной формулой Лагранжа.

Замечание. многочлен l_k(x) можно записать более сжато, если ввести выражение w(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_m), обращающееся в 0 в узлах интерполирования x₀, x_{1 ,…,} x_m.

Покажем это: (x¹x_k)а

(x_k-x₀)…(x_k-x_k-1)(x_k-x_k+1)…(x_k-x_m)=

Таким образом, и . (3)

Дополнительный член формулы Лагранжа.

оценим разность f(x)-L(x), где x-любое фиксированное значение из отрезка [a, b], отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функция f(z) на этом отрезке имеет производные всех порядков до (m+1)-го включительно. Какова бы ни была постоянная К, функция j(z)=f(z)-l(z)-Kw(z) тоже имеет (m+1) производных и к тому же обращается в 0 в узлах x_i (i=0,1,…,m). выберем постоянную K так, чтобы и при z = x было j(x)=0,т.е. положим

(1), (так как x¹x_i,то w(x)¹0 ).

По теореме Ролля в (m+1) промежутках между m+2корнями x, x₀, x₁, …, x_m функции j(z)найдётся m+1 различных корней её производной j^'(z). Применяя снова теорему Ролля к функции j^'(z) и к m промежуткам между её (m+1) корнями, установим существование m различных корней второй производной и так далее. Продолжая это рассуждение, на(m+1)-ом его шаге придём к существованию корня x (m+1)-й производной j^(m+1)(z), так что:

j^(m+1)(x)=0(a<x<b)(2).

Но L^(m+1)(z)º0 ибо степень многочлена L(z) не выше m, a w^(m+1)(z)º(m+1)! Учитывая определение вспомогательной функции j(z),имеем:

j^(m+1)(z)=f^(m+1)(z)-K(m+1)!

Так что из (1) получается, что . Окончательно получим:

(a<x<b) (3).

Это интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от f(x)@L(x) она является точной.

Замечание: Если на отрезке [a, b] то, так как на этом отрезке , получаем такую оценку для погрешности формулы f(x)@L(x): .