Краткие сведения теории вероятностей

1. Элементы комбинаторики Размещениями m из n элементов называются m-элементные подмножества множества Е={a1,a2,…,an}, различающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Общее число таких различных комбинаций обозначается символом .

Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом .

Сочетаниями из n по m элементов называются m-элементные подмножества множества Е={a1,a2,…,an}, имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом .

Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами:

2. Классическое определение вероятности

, где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.

3. Геометрическое определение вероятности

. Вероятность попадания точки в какую либо часть А области Ω пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы.

4. Основные свойства вероятности

Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий):

.

Для полной группы несовместных событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

- теорема умножения.

Если события А и В – независимые, то

- теорема умножения.

5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Если известно, что событие А может произойти с одним из событий (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:

6. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p (вероятность «успеха»), то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

Число k0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях по схеме Бернулли, если значение при не меньше остальных значений. Число можно найти из двойного неравенства:

.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Теорема 1 (Локальная теорема Лапласа). При больших n

Теорема 2 (Интегральная теорема Лапласа). При больших n вероятность того , что в серии испытаний событие А появится от до раз, выражается приближенной формулой:

,

- функция Лапласа.

Теорема3 (Закон «редких» явлений Пуассона). При больших n и малых p, если среднее число успехов , имеет место приближенная формула

.

Литература:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум. М.: Юрайт, 2013.
2. Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисления. т.1. М: Наука, 2004
3. Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисления. т.2. М: Наука, 2004
4. Барвин И.И., Математический анализ. Учебник для вузов, М. Высшая школа, 2006
5. Данко П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах, Оникс, 2006
6. Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркешеян, Практикум по высшей математике. Феникс, 2006
7. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В.М. М.: Инфра-М, 2010
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.М. М.: Инфра-М, 2009
9. Бугров Я.С. и др. Высшая математика в 3 т. Т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Феникс, 1997
10. Бугров Я.С. и др. Высшая математика в 3 т. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. Феникс, 1997
11. Шипачев В.С. Высшая математика. М: Юрайт, 2013
12. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М: Высш.шк., 2003
13. Чумак И.В. Дифференциальные уравнения. Ростов-на-Дону, ИЦ ДГТУ, 2007
14. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Машиностроение, 2002.
15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М: Высш. шк., 1999.
16. Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М: ACADEMIA, 2003.
17. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятности. М.: Высш.шк., 2002.
18. Капитонова Е.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Ростов-на-Дону, ИЦ ДГТУ, 2010.
19. Математический сайт - http://www.math.ru/
20. Софт@Mail - http://soft.mail.ru/subcat_list.php?ps=0&cat=179&lic=3&osid=0
21. Math-Net - http://www.mathnet.ru/
22. Общероссийский математический портал - http://www.mathnet.ru/