Пример решения типового задания
Задание №1
Дано комплексное число 
.
1. Записать число 
в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.
2. Вычислить 
.
Решение:
1. Приведем к алгебраической форме комплексного числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число 
комплексно сопряженное знаменателю. Получим:
Итак, 
алгебраическая форма комплексного числа .
Запишем  в тригонометрическом виде, используя формулу (1): Имеем:   ,   |
на комплексной плоскости:
0 1 х    |
| у |
Итак, тригонометрическая форма имеет вид:
. В показательной форме: 
.
2. Вычислим 
, используя формулу:
Ответ:1. 
;
2. 
Пример 2.
1. Решить уравнение 
.
2. Записать корни уравнения 
и 
в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив их на комплексной плоскости.
Решение:
1. Найдем корни данного квадратного уравнения по известной формуле
, зная, что 
.
(Знак 
используется как квадратный корень из комплексного числа!)
Получим два комплексно сопряженных корня
.
2. Имеем алгебраическую форму 
и 
.
Действительная и мнимая часть, соответственно, равны:
Изобразим 
и 
на комплексной плоскости:
Запишем числа  и в тригонометрической и показательной форме. Имеем:  ,   ,  ;  |
| y |
  0  3 x    |
, 
; 
; 
.
Ответ: 
Задание № 2
Вычислить пределы.
Решение.
1. 
(разложим числитель и знаменатель на множители) 
;
2. 
(разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень 
; в данном случае на 
)=
(т.к. функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая: 
);
3. 
(умножим числитель и знаменатель на 
)
= 
;
4. 
(применим правило Лопиталя (3)) 
.
Ответ:1. 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
Задание №3
Подобрать параметры 
и 
так, чтобы функция 
была непрерывна.
Решение.
Функция 
составлена из элементарных функций, каждая из которых непрерывна на указанных промежутках. Непрерывность может нарушаться только в точках 
и 
.
Вычислим односторонние пределы функции 
в этих точках.
а) 
; 
;
.
Условие непрерывности функции в точке 
записывается в виде 
.
б) 
; 
; 
.
Условие непрерывности функции в точке 
записывается в виде 
.
в) Получаем систему линейных уравнений:
.
Решение системы дает значения искомых параметров: 
.
Ответ: 
Задание №4
Продифференцировать данные функции по переменной 
.
1. 
; 2. 
; 3. 
.
Решение.
1. 
.
Используем правило дифференцирования сложной функции: если 
, где функции 
и 
имеют производные, то 
. Полагаем 
и 
. Получаем:
.
Тогда 
.
2. В этой задаче функция задана параметрически, т.е. уравнениями:
.
Производная 
находится по формуле: 
.
Проводим вычисления:
;
.
3. Функция задана неявно уравнением 
. Для определения 
нужно продифференцировать функцию 
по 
, рассматривая при этом 
как функцию переменной 
. Приравнивая полученную производную к нулю, получаем уравнение первой степени относительно 
. Из этого уравнения и находим производную.
, 
,
, 
,
.
Ответ: 1. 
;
2. 
; 3. 
.
Задание №5
Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
Решение.
1. Область определения функции: 
; 
;
2. Точки пересечения с осями координат.
, так как уравнение 
не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью 
.
, т.е. график пересекает ось 
в точке (0;–1).
3. Исследование функции на четность (нечетность).
.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. – это функция общего вида.
4. Функция непериодическая.
5. Исследование непрерывности. Классификация точек разрыва.
Функция терпит разрыв в точке 
. Определим тип разрыва:
.
Односторонние пределы функции бесконечны, следовательно, 
– точка разрыва второго рода (точка бесконечного разрыва).
6. Интервалы монотонности, точки экстремума функции.
Найдем первую производную функции:
, 
.
| – |
| – |
 + |
| + |
  1   |
Точки экстремума:
Функция имеет максимум при 
, так как в при переходе через эту точку производная меняет знак с (+) на (–), причем 
.
Функция имеет минимум при 
, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с (–) на (+), причем 
.
Функция возрастает при 
.
Функция убывает при 
7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
в ноль не обращается, значит, точек перегиба нет.
| – |
| + |
| ○ |
 |
 |
При 
направление выпуклости графика вверх (выпуклость), а при 
– вниз (вогнутость).
8. Асимптоты.
Прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции (см. пункт 5).
Найдем наклонные асимптоты 
:
; 
Итак, график имеет наклонную асимптоту 
(правую и левую).
9. График функции.
M JEZYS2p39GuJ/U+799mecBQaL4cARSLBJzYcNCX3UErYn6wukkR0pt8ljzXehiJ3xHgcFPk1SnE/ 6NlV8AB8DsDnk9Qa+XeR+JEpH7jUD2LpV6zdz7ju/mz3xR8AAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQAG OQT14AAAAAoBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI9BS8NAEIXvgv9hGcGb3STaRGM2pRT1VARb Qbxts9MkNDsbstsk/feOJ729xzzefK9YzbYTIw6+daQgXkQgkCpnWqoVfO5f7x5B+KDJ6M4RKrig h1V5fVXo3LiJPnDchVpwCflcK2hC6HMpfdWg1X7heiS+Hd1gdWA71NIMeuJy28kkilJpdUv8odE9 bhqsTruzVfA26Wl9H7+M29Nxc/neL9+/tjEqdXszr59BBJzDXxh+8RkdSmY6uDMZLzr2y5S3BBZp AoIDafaQgTiwSLInkGUh/08ofwAAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAA AJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQDL09+1KwkA AP47AAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAGOQT1 4AAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAIULAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA kgwAAAAA ">
  |
 |
 |
-1 
0 1 
x
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1 / Н.С. Пискунов– М: Наука, 1985. – 456 с.
2. Конспект лекций по высшей математике, ч.1 / Дмитрий Письменный.– М: Айрис Пресс, 2005. – 279 c.
3. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко и др. –М: Высшая школа, 1999. – 532 c.
4. Сборник задач по математике для втузов, ч. 1 / А. В. Ефимов, Б. П. Демидович – М: Наука, 1993. – 623 с.
Содержание
1. Задания по теме «Математический анализ»………………………...3
2. Варианты типовых заданий…………………………………….. 4 –18
3. Справочный материал………………………………… ……......19–23
4. Пример решения типового задания…………………………….24–31
5. Список рекомендуемой литературы………………………………..31