Под определителем третьего порядка понимается выражение 1 страница
Рекомендованы редакционной комиссией
механико – технологического факультета
Протокол N от __________________
Литература:
1. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Просвещение, 1980г.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1978г.
3. Зайцев И.Л. элементы высшей математики М.:Наука, 1968г.
4. Данко П.Е., Попов А.Г. высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1974г.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966г.
Определители и системы линейных алгебраических уравнений.
Литература. [2]. Гл. XVII, §1 –7
Под определителем (детерминатором) второго порядка понимается выражение
Под определителем третьего порядка понимается выражение
Числа 
называются элементами определителя. Индекс 
указывает номер строки, а индекс 
- номер столбца на пересечении которых стоит элемент 
. Так элемент 
расположен в первой строке и во втором столбце.
Пример: 
Система вида: 
называется неоднородной линейной системой 
алгебраических уравнений с
неизвестными. Если все свободные члены, т.е. члены не содержащие неизвестных, 
одновременно равны нулю, то система называется однородной. Совокупность значений неизвестных 
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы уравнений.
Если система имеет (не имеет) решение, то она называется совместной (несовместной).
Если система имеет единственное решение, то она называется определенной. Система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной.
Решить систему уравнений, значит, найти все ее решения или доказать ее несовместность.
Рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера и Гаусса на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными
I. Метод Крамера.
Если главный определитель системы, т.е. определитель, составленныйиз коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: 
, где 
2. Метод Гаусса.
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных, исходная система преобразуется в эквивалентную ей ступенчатую систему. Для этого используют следующие элементарные преобразования: прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на некоторое число 
; перестановка местами уравнений.
Пример. Решить систему линейных уравнений двумя способами:
а) методом Гаусса; б) методом Крамера
Решение. a) метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Первое уравнение оставим без изменения, а из второго и третьего исключим первое неизвестное, т.е. 
.
Для этого последовательно из второго уравнения вычтем первое, а к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на -3. Получим эквивалентную систему.
Теперь первое и второе уравнения оставляем без изменения, а из третьего исключим второе неизвестное, т.е. 
.
Для этого к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на 5.
Получим 
Из третьего уравнения получаем 
Подставляя найденное 
во второе уравнение, получим 
Аналогично, из первого уравнения находим 
б) метод Крамера.
Найдем главный определитель системы
, так как 
, то система имеет
единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
.
Вопросы для самопроверки.
1. Что называется определителем третьего порядка?
2. Сформулируйте свойства определителей.
3. Дайте определение неоднородной системы линейных уравнений.
4. Что называется решением системы уравнений?
5. Сформулируйте правило Крамера.
6. В чем сущность метода Гаусса?
Векторы.
Литература. [2]. Гл.17. §1-15
Вектором называется направленный отрезок. Всякий ненулевой вектор 
характеризуется числовым значением, называемым длиной вектора, т.е. 
и направлением, задаваемым лучом 
.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.
Любой вектор 
можно разложить единственным образом по базисным векторам 
прямоугольной системы координат, т.е. записать 
. Коэффициенты 
разложения называются координатами вектора 
в данной системе координат. Вектор с координатами записывают так: 
или 
. Длина вектора равна 
. Если даны 
и 
, то 
имеет координаты 
.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
.
Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат: 
, то 
.
Векторным произведением двух векторов и 
называется такой третий вектор 
, длина которого численно равны площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях; он перпендикулярен к плоскости параллелограмма и направлен в ту сторону, с которой кратчайшее вращение от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки.
Если векторы заданы координатами то векторное произведение их можно найти по формуле: 
Угол между векторами определяется по формуле 
или в координатах 
.
Пример. Даны два вектора 
найти угол между этими векторами и вектор 
.
Решение. Так как векторы заданы в прямоугольной системе координат то для вычисления угла между векторами и воспользуемся формулой:
. 
.
;
.
.
Вектор векторного произведения векторов и найдем по формуле 
.
Вопросы и упражнения для самопроверки
1. Что называется вектором?
2. Сформулируйте линейные операции над векторами.
3. Дать определение коллинеарности и компланарности векторов.
4. Действия над векторами заданными в координатной форме.
5. Дать определение скалярного произведения векторов
6. Как найти длину вектора?
7. Напишите формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов по их прямоугольных координатам.
8. Сформулируйте условия перпендикулярности двух векторов.
9. Напишите формулу для вычисления угла между двумя векторами.
10. Дать определение векторного произведения векторов.
11. Напишите формулу для вычисления векторного произведения векторов заданных координатами.
12. Определите угол между векторами 
13. Найдите длину вектора 
, если 
.
Прямая на плоскости
Литература. [1] гл. 1. §3-5, [2] гл. 3 §1-7, [3] гл. 3 §11-20.
Имеет место теорема: всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с переменными 
и 
, и всякое уравнение вида 
при любых действительных значениях коэффициентов 
, исключая одновременно равенство нулю коэффициентов 
и 
, определяют прямую линию.
Уравнение 
называется общим уравнением прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
с заданным нормальным вектором 
: 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором 
: 
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом 
. Угловым коэффициентом 
прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси 
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и 
. Две прямые 
и 
параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой 
.
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно минус единице: 
.
Если прямые 
и 
не параллельны то, для нахождения точки их пересечения надо решить систему, составленную из уравнений этих прямых: 
Пример. Даны вершины треугольника 
. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону 
и уравнение медианы, проведенной из вершины 
. Сделайте чертеж.
Решение.
Найдем угловые коэффициенты прямых 
и 
. 
.
Так как 
то 
. Тогда уравнение высоты 
запишем по формуле 
, 
- уравнение высоты . Найдем координаты точки 
, делящей отрезок 
пополам: 
; 
. Запишем уравнение медианы 
по формуле: ; 
; 
; 
; 
- уравнение медианы .
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Напишите общее уравнение прямой.
2. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.
4. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.
5. Как найти точку пересечения двух прямых?
6. Составьте уравнения прямой проходящей через точки 
и 
.
7. Дана прямая 
. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно данной прямой.
Функции. Предел функции.
Литература. [1], гл. 2 §8-13, [2] гл. 6 §2, 4, 6-9. гл. 7 §3-13, [3] гл. 5, §40-51.
Если каждому значению переменной величины по некоторому закону ставится в соответствие одно определенное значение переменной , то говорят, что есть однозначная функция , и обозначается 
.
Число называется пределом функции 
при 
, если для любого 
существует 
такое, что 
при 
. Обозначается так: 
.
Если существуют 
и 
, то имеют место следующие теоремы:
1. 
2. 
3. 
, при 
. Частое применение находят следующие пределы: 
Пример. Вычислить пределы: а) 
; б) 
;
в) 
.
Решение.
а) В данном примере нельзя непосредственно воспользоваться теоремой о пределе частного, так как пределы числителя и знаменателя равны бесконечности. Для раскрытия неопределенности данного вида вынесем в числителе и знаменателе 
за скобки, имеем 
б) При непосредственной подстановке убеждаемся, что предел числителя и знаменателя равен нулю. Имеет место неопределенность 
. Для раскрытия ее разложим числитель на множители. Получим 
.
в) При 
числитель и знаменатель стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность . 
.
Здесь использовали то, что 
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Дайте определение функции.
2. Что называется областью определения функции?
3. Каковы способы задания функции?
4. Дайте определение предела функции.
5. Какая величина называется бесконечно малой?
6. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
7. Сформулируйте первый замечательный предел.
8. Вычислите пределы: 
, 
, 
, 
.
9. Какие бесконечно малые называются эквивалентными?
Производная и ее приложения.
Литература. [1] гл.3 §14-17. [2] гл.9 §1-5, гл.10 §1-15, [3] гл. 7 §60-66 гл. 8 §67-85
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
. Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой, а операция нахождения производной - дифференцированием.
Если 
и 
- дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции 
существует и равна 
.
Таблица формул дифференцирования:
1. 
12. 
2. 
13. 
3. 
14. 
4. 
15. 
5. 
16. 
6. 
17. 
7. 
18. 
8. 
19. 
9. 
20. 
10. 
21. 