Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
Перейдем к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл
.
Совершенно очевидно, что данная дробь является неправильной, так как 4>3.
Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций – это деление числителя на знаменатель. Да-да, делить будем столбиком, как самые обычные числа в школе.
Напоминаю алгоритм. Сначала рисуем «заготовку» для деления:
.
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.
Теперь маленькая задачка: на какой множитель нужно умножить 
, чтобы получить 
? Очевидно, что на 
:
Далее умножаем сначала на , потом – на 
, потом – на 
, потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):
Старшая степень остатка 
равна двум, старшая степень делителя 
– больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, наше решение принимает следующий вид:
Делим числитель на знаменатель:
.
(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.
После деления всегда желательно выполнять проверку.
В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю выражение
,
и в результате получится в точности исходная неправильная дробь
.
(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Дальше всё идет по накатанной схеме:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
.
Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендуем всем!
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
.
Заметим, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты A, B и C. Это происходило по той причине, что почти все интегралы были взяты из сборника задач по высшей математике для экономистов. На практике же часто будут появляться разные нехорошести.
Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов A, B, C,…, то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
;
; 
;
.
Комментарий. В правой части у нас нет слагаемого с x2, поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.
.
Пример 4: Решение:
Шаг 1.Проверяем, правильная ли у нас дробь?
Старшая степень числителя - 6. Старшая степень знаменателя - 8. Так как 6<8, то дробь является правильной.
Шаг 2.Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Множитель (x2+4) разложить нельзя, а вот (x2-4) – можно:
.
Шаг 3.Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Пример 6: Решение:
.
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
.
.
.
Пример 7: Решение:
.
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
.
.
Пример 9: Решение:
(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.
(2)-(3) Теперь можно разделить числитель 
на знаменатель 
, но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Прибавим и вычтем из числителя выражение: (-x2-x+1).
(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного сокращено разложение, надеюсь, всем понятно, что 
.
Далее очевидно…
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
.
.
