Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики

1. Фирме выделен банковский кредит на срок с 3 января по 12 мар­та под простые проценты с процентной ставкой 12 % годовых. Сумма кредита — 80 млн ден. ед. Определить тремя методами коэффициент наращения и наращенную сумму.
2. Сберегательный банк принимает вклад «до востребования» под процентную ставку i % = 4,8 % (проценты простые). В году К = 365 дней. Через сколько дней вклад в 4,5 млн ден. ед. нарастет до 5 млн ден. ед.
3. Фирма взяла в коммерческом банке кредит на сумму 600 млн ден. ед. сроком на 4 года. Согласно договору, за первый год процент­ная ставка составила 14 % и с учетом инфляции каждый последующий год повышалась на 2,5 пунктов. Определите коэффициент нара­щения, наращенную сумму и доход банка.
4. Банки принимают у населения денежные средства на срочные вклады. Клиент хочет внести в банк денежную сумму 8 млн ден. ед. на 3 месяца с таким расчетом, чтобы наращенная сумма была не менее 10 млн ден. ед. Какой должна быть годовая процентная ставка?
5. Ссуда в размере 50 000 ден. ед. выдана на полгода по простой ставке процентов 20 % годовых. Определить наращенную сумму.
6. Кредит в размере 100 000 ден. ед. выдан 2 марта до 11 декабря под 18 % годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
7. Кредит в размере 200 000 ден. ед. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 15 %, а за каждое последующее полугодие она увеличивается на 4 %. Определить множитель наращения и наращенную сумму.
8. Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 ден. ед. вырастает до 45 000 ден. ед., если используется простая ставка процентов 12 % годовых.
9. Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 ден. ед. достигнет 30 000 ден. ед. через 100 дней. К= 365 дней.
10. Кредит выдается под простую ставку 18 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую кредитором, и сумму процентных денег, если величина кредита составляет 40 000 ден. ед.
11. Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 10 % годовых. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 300 000 ден. ед.
12. Кредит в размере 100000 ден. ед. выдается по учетной ставке 12 % годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 130000 ден. ед.
13. Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает доход в 60 000 ден. ед., если сумма в 50 000 ден. ед. выдается в ссуду на полгода.
14. Банк принимает валютные вклады физических лиц «до востребования» по номинальной процентной ставке 5 %. Клиент внес 200 долл. США. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму при сроке вклада 12 месяцев. Проценты сложные начисляются: один раз в год, в полугодие, поквартально, ежемесячно.
15. Клиент внес в коммерческий банк вклад «до востребования» в сумме 20 000 ден. ед. под номинальную процентную ставку 10 %. Начисление процентов ежемесячно. Вклад внесен 23 января и получен 4 августа. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход клиента.
16. При вкладе «до востребования» банк, согласно договору, имеет право изменить процентную ставку. Клиент внес в коммерческий банк 50 000 ден. ед. Первый месяц номинальная процентная ставка со­ставляла 6 %, последующие 2 месяца — 7 %, следующий месяц — 8 % и последние 3 месяца — 10 %. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход клиента по приведенным ставкам для сложных и простых процентов. Начисление процентов ежемесячное.
17. Три коммерческих банка предложили возможным клиентам следующие условия: первый банк предлагает на валютные вклады простые проценты из расчета 8 % годовых, второй — по номинальной ставке 7 % при ежемесячном начисление процентов, третий — по но­минальной ставке 9 % и поквартальном начислении процентов. В ка­кой банк клиенту выгоднее вкладывать деньги?
18. Годовая процентная ставка коммерческого банка «до востребования» — 4 %. Начисление процентов ежемесячное, проценты сложные. На какой минимальный срок нужно поместить клиенту вклад 30 000 ден. ед., чтобы наращенная сумма была не менее 40 000 ден. ед.? Принять К = 365 дней в году.
19. Для совершения сделки через три месяца клиенту необходимо иметь 500 000 ден. ед. В наличии у него 450 000 ден. ед. Какой должна быть минимальная номинальная ставка процентов коммерческого банка, чтобы наращенная сумма была не менее 500 000 ден. ед. при условии, что начисление процентов ежемесячное.
20. Коммерческий банк принимает вклады населения сроком на 90 дней при условии 10 % годовых. Годовой ожидаемый уровень инфляции составляет 8 %. Определить простую процентную ставку с учетом инфляции и коэффициент наращения, приняв К = 365 дней.

1. Фирма договорилась с банком о выделении кредита 6 млн ден. ед. на год без учета инфляции. Ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 10 %. Определить процентную ставку с учетом инфляции, коэффициент наращения.
2. На сумму 20 000 ден. ед. начисляются сложные проценты в течении 3 лет по годовой процентной ставке 0,08 %. Темп прироста инфляции 0,03 % в год. Определить:

а) наращенную сумму без учета инфляции;

б) реально наращенную сумму с учетом инфляции;

в) брутто-ставку;

г) наращенную сумму по брутто-ставке.

1. АО создает благотворительный фонд, для чего в конце каждого года в банк делается взнос в размере 40 000 ден. ед. На собранные деньги банк начисляет сложные проценты по годовой процентной ставке 15 %. Определить размер фонда через 10 лет.
2. Господин Иванов желает за 8 лет накопить к юбилею 50 000 ден. ед., делая в конце каждого года равные вклады в банк, на которые банк начисляет проценты по годовой ставке 5 %. Какую сумму он должен вкладывать ежегодно?
3. Господин Иванов желает положить в банк, который выплачивает 10 % сложных годовых, такую сумму, чтобы его сын, студент 1-го курса, мог снимать с этого счета ежегодно 10 000 ден. ед., исчерпав весь вклад к концу пятилетнего срока учебы. Какую сумму дол­жен положить в банк господин Иванов?
4. Каждый член ренты 500 ден. ед., выплачиваемый в конце года, дисконтируется сложными процентами по годовой ставке 0,06. Определить современную величину ренты при условии, что срок ренты равен 10 лет.
5. Определить размер одинаковых взносов в конце года при начислении на них сложных процентов по годовой ставке 0,08 для создания к концу 5-го года фонда, равного 1 000 000 ден. ед.
6. Кредитное соглашение промышленного предприятия с банком предусматривает, что за первый год предприятие уплачивает 20 % годовых. В каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 процентный пункт. Срок сделки 2,5 года. Сумма кредита 5 млн ден. ед. Проценты обыкновенные с приближенным сроком кредита. Опре­делить сумму возврата кредита через 2,5 года, а также доход банка.
7. Акционерное общество (АО) для погашения задолженностей по счетам поставщиков считает возможным взять краткосрочный кредит в банке под 15 % годовых. Год не високосный. Кредит на 100 млн ден. ед. планируется с 20 января по 5 марта включительно.

1. Определить возможные варианты долга по точным процентам с точным числом дней кредита; по обыкновенным процентам с точным числом дней кредита; по обыкновенным процентам с приближенным числом дней кредита. Какой вариант сделки выгоднее АО, какой — банку.

31. На сумму 100 тыс. ден. ед. начисляется 10 % годовых. Проценты простые точные. Какова наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение 1 квартала? Принять К =365 дней.

32. Определить современную величину банковского депозита, если вкладчик через 10 лет должен получить 2 млн ден. ед. при условии, что банк производит начисление на внесенную сумму по сложной ставке 20 % годовых и в случае, если начисление процентов производится ежеквартально.

1. Какую сумму необходимо проставить в договоре, если заемщику предоставлен кредит в 500 тыс. ден. ед. со сроком погашения 1,5 года, а наращение процентов производится по сложной годовой учетной ставке 20 % и в случае ежеквартального наращения?
2. Предполагается, что темп инфляции составит 20 % в год. Какую ставку сложных процентов следует проставить в договоре, чтобы реальная доходность составляла 10 %? Чему равна инфляционная премия?
3. Для создания страхового фонда фирма ежегодно выделяет в конце года по 100 тыс. ден. ед., которые вкладываются в банк. Определить сумму, накопленную в страховом фонде через 6 лет, если начисляются сложные проценты по годовой ставке 12 %.
4. Имеется денежная сумма в рублях, которую предполагается по­ложить на полгода в банк. Обменный курс в начале операции 20 руб. за усл. ед. валюты, ожидаемый курс обмена в конце операции — 26 руб. за усл. ед. Годовая ставка простых процентов по рублевым вкладам 15 %, по валютным вкладам — 5 %. Как выгоднее разместить вклад: рублевый или через конверсию в валюту?
5. Ссуда в размере 500 тыс. ден. ед. выдана 5 января на год и 6 месяцев. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности предусматриваются платежи в банк: 5 апреля в размере 15 тыс. ден. ед.; 5 июля и 15 октября по 100 тыс. ден. ед.; 5 января в размере 50 тыс. ден. ед. Банком предусматривается начисление простых процентов по ставке 12 % годовых. Рассчитать контур финансовой операции для актуарного метода и метода торговца, определить размер последнего погасительного платежа для окончательного расчета в обоих методах. Результаты расчета сравнить.
6. В 1995 г. в России состоялся аукцион по первичному размещению государственных краткосрочных облигаций со сроком обращения 36 дней. Минимальная цена продажи составляла 93,92 % от номинала. Определить доходность покупки облигаций по минимальной цене.
7. Фирма приобрела 10 привилегированных акций номиналом по 100 тыс. ден. ед. с фиксированной процентной ставкой 40 % в год. Стоимость этих акций ежегодно возрастает на 8 % относительно номинальной. Полученные проценты вновь инвестируются под 30 % годовых. Определить ожидаемый доход и доходность продажи акций через три года.
8. Предприниматель выделил некоторую сумму, на которую он предполагает приобрести акции четырех фирм. Эффективные процентные ставки доходности фирм составляют 16, 20, 24 и 12 %. Сравните выгодность покупки акций для трех вариантов:

Акций первой фирмы куплено на 50 %, второй — на 15 %, третьей — на 15 % и четвертой — на 20 % выделенной суммы.

Акций первой фирмы куплено на 30 %, второй — на 20 %, третьей — на 20 % и четвертой — на 20 % выделенной суммы.

Акций первой фирмы куплено на 20 %, второй — на 30 %, третьей—на 15 % и четвертой — на 35 % выделенной суммы.

Приложение 3. План изучения курса

№ раздела/темы	Наименование разделов и тем (I семестр)	Задание по теме	Срок сдачи работы
01.	ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
1.	РАЗДЕЛ I. Алгебра высказываний
1.1.	Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
1.2.	Основные законы математической логики	К.р. № 1
2.	РАЗДЕЛ II. Алгебра матриц
2.1.	Вычисление определителей
2.2.	Вычисление обратной матрицы
3.	РАЗДЕЛ III. Решение системы линейных уравнений
3.1.	Решение системы уравнений методом подстановки
3.2.	Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
3.3.	Решение системы по правилу Крамера
3.4.	Решение системы с помощью обратной матрицы
3.5.	Решение систем линейных уравнений методом Гаусса	К.р. № 2
3.6.	Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
	РАЗДЕЛ IV. Алгебра комплексных чисел
4.1.	Понятие комплексного числа
4.2.	Алгебраическая форма комплексного числа
4.3.	Тригонометрическая форма комплексного числа
4.4.	Возведение комплексных чисел в степень
4.5.	Извлечение корней из комплексных чисел	К.р. № 3
5.	РАЗДЕЛ V. Математические формулы и графики
5.1.	Математические формулы
5.2.	Графики и свойства элементарных функций
5.3.	Построение графиков функций.	К.р. № 4
№ раздела/темы	Наименование разделов и тем (II семестр)	Задание по теме	Срок сдачи работы
6.	РАЗДЕЛ V. Пределы функций
6.1.	Вычисление пределов
6.2.	Первый замечательный предел
6.3.	Второй замечательный предел	К.р. № 5
7.	РАЗДЕЛ VI. Производная и дифференциал
7.1.	Вычисление производных
7.2.	Производная сложной функции
7.3.	Логарифмическая производная и производная степенно-показательной функции
7.4.	Производная функции, заданной неявно	К.р. № 6
7.5.	Частные производные
7.6.	Абсолютная и относительная погрешности вычислений
7.7.	Приближённые вычисления с помощью дифференциалов функций одной и двух переменных
8.	РАЗДЕЛ VII. Интегралы.
8.1.	Неопределённый интеграл
8.2.	Определённый интеграл
8.3.	Несобственные интегралы
8.4.	Эффективные методы вычисления определенных и несобственных интегралов	К.р. № 7

ЛИТЕРАТУРА

Основной список

1. Красс М. С., Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов». – СПб., 2007.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. / Под редакцией Ермакова В. И. – «Инфра - М», М., 2003.

3. http://mathprofi.ru/matematicheskie_formuly.html

Дополнительный список

4. Общий курс высшей математики под ред. Ермакова. - М., 2004.

5. Кремер Н.Ш. «Математика». - М., 2003.

6. Шипачев В.С. «Высшая математика». - М., 2003.

7. Шипачев В.С. «Высшая математика». Задачник. - М., 2003.