Начала финансовой математики

НАЧАЛА ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Методические указания

Сыктывкар



Содержание

Введение....................................................................................................................................................................... 4

1. Простые проценты................................................................................................................................................. 5

1.1. Временная ценность денег........................................................................................................................... 5

1.2. Проценты и процентные ставки................................................................................................................. 6

1.3. Формула наращения по простым процентам........................................................................................ 8

1.4. Практика начисления простых процентов............................................................................................. 9

1.5. Простые переменные ставки..................................................................................................................... 11

1.6. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Наращение по учетной ставке........................ 11

1.7. Сравнение ставки наращения и дисконтирования............................................................................. 14

1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки............................................................. 15

2. Сложные проценты............................................................................................................................................. 17

2.1. Начисление сложных годовых процентов........................................................................................... 17

2.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки процентов............ 19

2.3. Операции со сложной учетной ставкой................................................................................................ 21

2.4. Непрерывные проценты............................................................................................................................. 23

2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок........................................................................... 25

3. Производные процентные расчеты................................................................................................................ 27

3.1. Эквивалентность процентных ставок.................................................................................................... 27

3.2. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения............................................... 29

3.3. Ломбардный кредит.................................................................................................................................... 33

4. Контрольная работа (для студентов ОЗО специальности "Финансы и кредит").............................. 34

Библиографический список.................................................................................................................................. 35

Введение

Финансовая математика в узком понимании (как учебная дисциплина) ограничивается начальными разделами более широкого направления, которое можно назвать количественным анализом финансовых операций.

Финансовая математика охватывает определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях любой финансовой, банковской или коммерческой операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров, а именно:

– стоимостные характеристики (сумма кредита, займа или инвестиций, цена товара, размеры платежей, долговых обязательств и т.д.);

– временные данные (даты или сроки выплат, продолжительность льготных периодов или отсрочки платежей и т.п.);

– и такие специфические параметры, как процентные ставки (они могут быть заданы и в скрытой форме).

Каждый из перечисленных параметров можно представить в различном виде, и все они равноправны в рамках одной операции или сделки, образуя некоторую взаимоувязанную систему, подчиненную соответствующей логике. В связи со множественностью параметров такой системы конкретные конечные результаты (кроме элементарных ситуаций) часто неочевидны. Более того, изменение значения даже одной величины в системе обязательно скажется на результатах соответствующей операции, а пренебрежение любой из перечисленных характеристик может привести к нежелательным финансовым последствиям для одной из участвующих сторон. Отсюда следует, что такие системы могут и должны являться объектом приложения количественного финансового анализа. Проверенные практикой методы этого анализа и составляют предмет финансовой математики.

Рамки финансовой математики достаточно широки – от элементарных начислений процентов до относительно сложных расчетов, например – оценки влияния различных факторов на эффективность выпуска облигаций. К основным задачам финансовой математики относятся:

· измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

· разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;

· измерение зависимости конечных результатов операции от ее основных параметров;

· определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции и т.д.

Простые проценты

Временная ценность денег

В практических финансовых операциях суммы денег, вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, но обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже и большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или в другой формулировке – принципе изменения ценности денег во времени.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением времени. Представим, что предприятие имеет свободные денежные средства в размере 15 млн. руб., а инфляция, т.е. обесценение денег, составляет 20% в год. Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 млн. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Пример. Предприятие имеет возможность участвовать в деловой операции, которая принесет доход в размере 10 млн. руб. по истечении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 млн. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получения доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это происходит потому, что сумма, полученная в конце первою года, может быть вновь пущена в оборот и, таким образом, может принести дополнительные доходы. На первый взгляд, такой вывод очевиден и не требует каких-то специальных знаний, однако проблема выбора моментально усложнится, если немного изменить условие задачи; например, доходы таковы: в первый год – 4 млн. руб., а во второй – 5 млн. руб. В этом случае уже не очевидно, какой вариант предпочтительнее. Приведенный пример можно усложнять и дальше, вводя дополнительные условия: инфляция, стохастичность величины доходов, выплачиваемых единовременно и периодически, оказание дополнительных услуг и т.п.

Очевидным следствием принципа изменения ценности денег во времени является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет принципиального значения, например, в бухгалтерском учете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле. Неправомерно также и сравнение разновременных денежных величин. Их сравнение допустимо лишь при “приведении” таких сумм к одному моменту времени.

Проблема «деньги – время» не нова, поэтому уже разработаны удобные модели и алгоритмы, позволяющие ориентироваться в истинной цене будущих дивидендов с позиции текущего момента. Охарактеризуем их в теоретическом и практическом аспектах.

Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

начала финансовой математики - student2.ru , где P – первоначальная сумма, ij – ставка простых процентов в периоде с номером j, nj – продолжительность периода j – периода начисление по ставке ij.

Пример 3. Пусть в договоре, рассчитанном на 1 год, принята ставка простых процентов на первые два квартала в размере 12% годовых, на третий квартал – 10% годовых, и на четвертый – 9% годовых. Определить множитель наращения за весь срок договора.

Решение. начала финансовой математики - student2.ru =1+0,5·0,12+0,25·0,10+0,25·0,09=1,1075.

Сложные проценты

Непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S=P(1+j/m)mn,

где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Увеличение частоты начисления процентов (m) при фиксированном значении номинальной процентной ставки j приводит к росту множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m®¥) достигает своего предельного значения

начала финансовой математики - student2.ru (2.5)

Известно, что

начала финансовой математики - student2.ru ,

где е – основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (2.5), окончательно получаем, что наращенная сумма по ставке j равна

S=Pejn.

Непрерывную ставку процентов называют силой роста и обозначают символом d. Тогда

S=Pedn. (2.6)

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥.

Закон наращения при непрерывном начислении процентов (2.6) совпадает по форме с (2.2) с той разницей, что в (2.2) время изменяется дискретно с шагом 1/m, а в (2.6) – непрерывно.

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения можно получить формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим:

(1+i)n=edn,

откуда следует:

d=ln(1+i), i=ed-1.

Пример 20. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты в течение 5 лет, равна 2000 ден. ед., сила роста 10%. Наращенная сумма составит S=2000·e0,1·5=2000·1,6487=3297,44 ден. ед.

Непрерывное наращение по ставке 10% равнозначно наращению за тот же срок сложных дискретных процентов по годовой ставке i. Находим:

i=e0,1-1=1,10517-1=0,10517.

В итоге получим S=2000·(1+0,10517)5=3297,44 ден. ед.

Дисконтирование на основе силы роста осуществляется по формуле

P=Se-dn

Пример 21. Определим современную стоимость платежа из примера 17 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 15%.

Решение. Полученная за долг сумма (современная величина) равна

P=5000·е-0,15·5=5000·0,472366=2361,83 ден. ед.

При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину (см. пример 17) P=2218,53 ден. ед.

Ломбардный кредит

Ломбардный кредит означает, что заемщик должен обеспечить получаемый кредит ценными бумагами или материальными ценностями. При этом в мировой практике принято, что сумма ломбардного кредита не должна составлять более 75-80% номинальной стоимости залога. Если кредит обеспечен ценными бумагами, его сумма рассчитывается, исходя из 75-80% текущей курсовой стоимости данных ценных бумаг.

Обычно ломбардный кредит выдается на трехмесячный срок. При этом возможны различные варианты выплаты долга: заемщик может весь долг погасить вовремя; может продлить срок погашения на следующие три месяца; может выплатить вовремя лишь часть долга, а оставшуюся часть погашать в следующем периоде. При расчетах проценты выплачиваются вперед, учитывается точное количество дней в месяце при временной базе – 360 дней (схема 365/360). Если заемщик не погасит кредит вовремя, он, как правило, должен рассчитаться с кредитором по увеличенной (штрафной) процентной ставке в течение всего времени просрочки платежа.

Приведем некоторые примеры расчета.

Пример 31. Клиент обратился в банк 16 марта для получения ломбардного кредита и предоставил в залог 150 ед. ценных бумаг. Величина займа рассчитывается, исходя из 80% их курсовой стоимости. Процентная ставка составляет 9%, а затраты банка по обслуживанию долга – 200 ден. ед. На какой кредит может рассчитывать клиент банка, если курс его ценных бумаг на день обращения составил 300 ден. ед.?

Решение. Расчет производится 16.03.

Общая стоимость ценных бумаг – 150 ед.·300 ден.ед.= 45000ден.ед.

Величина займа – 80% от 45000, т.е. 0,8·45000=36000 ден.ед.

Проценты с 16.03. по 16.06.: I=P(t/K)i=36000·(92/360)·0,09=828 ден. ед. (t =(31–16)+30+31+16=92). С учетом затрат банка на руки клиент получит 36000–828–200 =34972 ден. ед. А 16.06. должен будет вернуть 36000 ден. ед.

Пример 32. Предположим, что в примере 32 заемщик выплатил 16.06 только часть долга – 6000 ден. ед., и продлил погашение кредита еще на три месяца. Необходимо определить, каков остаток долга и проценты за него, сколько всего заплатит должник кредитору.

Решение. Расчет производится 16.06.

Долг на 16.06 составляет 36000 ден. ед. Выплата – 6000 ден. ед. Остаток долга составит 36000-3000=30000 ден. ед.

Должник выплачивает: проценты с 16.06 по 16.09 (92 дня/9%)

I=30000·(92/360)·0.09=690 ден. ед. Итого: 6000+690=6690 ден. ед.

4. Контрольная работа
(для студентов ОЗО)

Пусть N1, N2 –– две последние цифры номера студенческого билета (или номера зачетной книжки). Например, для №9742743 N1 = 4, N2 = 3.

ØЗадача 1. За какое время капитал величиной 60000+4000·(N1+1) руб., вложенный с (N2+10)–го мая под 9% годовых (k, 365), увеличится на такую же величину, как и капитал 200000 руб., вложенный с (N2+2)–го мая по (N1+1)–го августа под (N1+7)% годовых (схема 365/360)?

ØЗадача 2. Долговое обязательство выписано на сумму 5000+20·(N1+ +N2) руб. с уплатой через (200+N1·10+N2) дней, предусматривая, что стоимость кредита составляет 20% этой суммы. Чему равна доходность кредитора, измеряемая простой ставкой наращения i и учетной ставкой d?

ØЗадача 3. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15% годовых плюс маржа: 8% в первый год, 5% – во второй год, 4% – в третий и четвертый годы. Определить величину коэффициента наращения за 4 года при полугодовом начислении процентов и наращенную величину капитала, если первоначальный капитал составил 5000 рублей.

ØЗадача 4. Для погашения долга величиной 1000·(N1+4)+10·(N2 +3) руб. со сроком погашения 25.06 заемщик выписал своему кредитору векселя: один – на сумму 300·(N1+1) руб. со сроком погашения 27.08, второй – на сумму 200·N1 руб. со сроком погашения 10.09 и третий вексель со сроком погашения 15.12. Найти, какова номинальная величина этого векселя при учетной ставке 8% годовых.

ØЗадача 5. Найти ежемесячную уравнивающую (эффективную) процентную ставку для полугодовой процентной ставки (N1+2)%.

ØЗадача 6. Оценить, сколько будет стоить в конце февраля следующий поток платежей пренумерандо: с января по апрель – по 1500·(N1+2) руб., затем с мая по декабрь – по 1000·(N2+2) руб. при полугодовой процентной ставке 10%.

ØЗадача 7. Составить амортизационный план возврата (равными долями в конце месяца) кредита размером 1000·(N1+4)+10·(N2+3) руб., выданного сроком на 6 месяцев под (N1+10)% годовых.

ØЗадача 8. Платежное обязательство уплатить через 100 дней 4000 руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов p=15% годовых (временная база – 365 дней), было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=20% годовых (временная база – 360 дней). Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Библиографический список.

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997.

2. Ковалев В.В., Финансовыйанализ. М.: Финансы и статистика, 1997. Гл. 4.

3. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. Пер. с сербского. М.: Финансы и статистика, 1994.

4. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. М.: ДЕЛО, 1998.

5. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: ДЕЛО, 2001.

НАЧАЛА ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Методические указания

Сыктывкар



Содержание

Введение....................................................................................................................................................................... 4

1. Простые проценты................................................................................................................................................. 5

1.1. Временная ценность денег........................................................................................................................... 5

1.2. Проценты и процентные ставки................................................................................................................. 6

1.3. Формула наращения по простым процентам........................................................................................ 8

1.4. Практика начисления простых процентов............................................................................................. 9

1.5. Простые переменные ставки..................................................................................................................... 11

1.6. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Наращение по учетной ставке........................ 11

1.7. Сравнение ставки наращения и дисконтирования............................................................................. 14

1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки............................................................. 15

2. Сложные проценты............................................................................................................................................. 17

2.1. Начисление сложных годовых процентов........................................................................................... 17

2.2. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки процентов............ 19

2.3. Операции со сложной учетной ставкой................................................................................................ 21

2.4. Непрерывные проценты............................................................................................................................. 23

2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок........................................................................... 25

3. Производные процентные расчеты................................................................................................................ 27

3.1. Эквивалентность процентных ставок.................................................................................................... 27

3.2. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения............................................... 29

3.3. Ломбардный кредит.................................................................................................................................... 33

4. Контрольная работа (для студентов ОЗО специальности "Финансы и кредит").............................. 34

Библиографический список.................................................................................................................................. 35

Введение

Финансовая математика в узком понимании (как учебная дисциплина) ограничивается начальными разделами более широкого направления, которое можно назвать количественным анализом финансовых операций.

Финансовая математика охватывает определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях любой финансовой, банковской или коммерческой операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров, а именно:

– стоимостные характеристики (сумма кредита, займа или инвестиций, цена товара, размеры платежей, долговых обязательств и т.д.);

– временные данные (даты или сроки выплат, продолжительность льготных периодов или отсрочки платежей и т.п.);

– и такие специфические параметры, как процентные ставки (они могут быть заданы и в скрытой форме).

Каждый из перечисленных параметров можно представить в различном виде, и все они равноправны в рамках одной операции или сделки, образуя некоторую взаимоувязанную систему, подчиненную соответствующей логике. В связи со множественностью параметров такой системы конкретные конечные результаты (кроме элементарных ситуаций) часто неочевидны. Более того, изменение значения даже одной величины в системе обязательно скажется на результатах соответствующей операции, а пренебрежение любой из перечисленных характеристик может привести к нежелательным финансовым последствиям для одной из участвующих сторон. Отсюда следует, что такие системы могут и должны являться объектом приложения количественного финансового анализа. Проверенные практикой методы этого анализа и составляют предмет финансовой математики.

Рамки финансовой математики достаточно широки – от элементарных начислений процентов до относительно сложных расчетов, например – оценки влияния различных факторов на эффективность выпуска облигаций. К основным задачам финансовой математики относятся:

· измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

· разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;

· измерение зависимости конечных результатов операции от ее основных параметров;

· определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции и т.д.

Простые проценты

Временная ценность денег

В практических финансовых операциях суммы денег, вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, но обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже и большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или в другой формулировке – принципе изменения ценности денег во времени.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением времени. Представим, что предприятие имеет свободные денежные средства в размере 15 млн. руб., а инфляция, т.е. обесценение денег, составляет 20% в год. Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 млн. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Пример. Предприятие имеет возможность участвовать в деловой операции, которая принесет доход в размере 10 млн. руб. по истечении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 млн. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получения доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это происходит потому, что сумма, полученная в конце первою года, может быть вновь пущена в оборот и, таким образом, может принести дополнительные доходы. На первый взгляд, такой вывод очевиден и не требует каких-то специальных знаний, однако проблема выбора моментально усложнится, если немного изменить условие задачи; например, доходы таковы: в первый год – 4 млн. руб., а во второй – 5 млн. руб. В этом случае уже не очевидно, какой вариант предпочтительнее. Приведенный пример можно усложнять и дальше, вводя дополнительные условия: инфляция, стохастичность величины доходов, выплачиваемых единовременно и периодически, оказание дополнительных услуг и т.п.

Очевидным следствием принципа изменения ценности денег во времени является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет принципиального значения, например, в бухгалтерском учете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле. Неправомерно также и сравнение разновременных денежных величин. Их сравнение допустимо лишь при “приведении” таких сумм к одному моменту времени.

Проблема «деньги – время» не нова, поэтому уже разработаны удобные модели и алгоритмы, позволяющие ориентироваться в истинной цене будущих дивидендов с позиции текущего момента. Охарактеризуем их в теоретическом и практическом аспектах.

Наши рекомендации