Метод решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности 2 страница

Протяженность участков зависит от соотношения ширины по­лосы к ее толщине и от величины коэффициента трения.

Выше было принято, что при значении х = 2h касательные контактные напряжения уменьшаются независимо от величины коэффициента трения. Следовательно, при ширине полосы

(6.46)

участки II и I отсутствуют, вся контактная поверхность являет­ся зоной прилипания.

При осадке полосы, когда > 2, протяженность участков I

и II зависит от величины коэффициента трения и отношения ши­рины к толщине.

При уменьшении коэффициента трения уменьшается интен­сивность роста и на участке I (зона скольжения) в соответ­ствии с уравнениями (6.24) и (6.23); протяженность зоны сколь­жения растет согласно уравнениям (6.39) и (6.41). Так как протяженность зоны прилипания при этом независимо от вели­чины коэффициента трения определяется толщиной полосы, рост зоны скольжения возможен только за счет уменьшения протя­женности зоны торможения. При некотором значении коэффи­циента трения зона торможения исчезнет и на контактной по­верхности будут только два участка I и III (зоны скольжения и прилипания).

Зона торможения уменьшается также с уменьшением шири­ны полосы при данном значении коэффициента трения и толщи­ны полосы, так как протяженность зоны скольжения ( ) и зо­ны прилипания ( ) от ширины не зависит и сохраняет значение при ее изменении.

Зона торможения уменьшается также с увеличением толщи ны полосы при данных значениях коэффициента трения и шири­ны полосы. В этом случае уменьшение зоны торможения проис­ходит за счет роста зоны прилипания при сохранении протяжен­ности зоны скольжения.

Таким образом, отсутствие зоны торможения определяется соотношением размеров (ширины и толщины) полосы и коэффи­циентом трения.

В момент исчезновения зоны торможения границы между зо­нами прилипания и торможения и между зонами торможения и скольжения сольются, тогда

Подставив значение х_ь из выражения (6.40) и х_с из выражения (6.43), получаем

Отсюда

(6.47)

При эпюра контактных напряжений состоит из трех

участков, а при и с учетом выражения (6.46) —

из двух (участки прилипания и скольжения).

В случае трех или двух участков принимают, что коэффи­циент трения

О < f <0,5.

При значении коэффициента трения скольжение не происходит, I участок исчезает и эпюра состоит из участков III и II (участки прилипания и торможения), что следует из выра­жений (6.39) и (6.40) при

Таким образом, в зависимости от соотношения размеров се­чения полосы и величин коэффициентов" трения при осадке по­лосы возможны четыре вида эпюр:

1) эпюра из трех участков I—III при

2) эпюра из одного участка III при

3) эпюра из двух участков I и III при

4) эпюра из двух участков II и III при

Зная распределение нормальных напряжений на контактной поверхности, можно определить полное усилие, интегрируя вы­ражения для в пределах каждого участка, суммируя эти ин­тегралы и умножая на длину полосы /.

В общем случае для трех участков эпюры полное усилие

Разделив полное усилие на контактную площадь, получаем удельное давление

После интегрирования выражения (6.48), некоторых преоб­разований и деления на площадь контакта находим

(6.49)-

После интегрирования и деления на площадь контакта получаем vдельное давление

(6.51)

При ширине полосы участки скольжения и торможения отсутствуют, вся контактная поверхность является зоной прилипания и определяется выражением (6.34); удельное дав­ление определяется формулой (6.37).

Если касательное напряжение не достигает максимального значения , что возможно при малых значениях коэффициента трения, то зона торможения отсутствует. Контактная по­верхность состоит из зон скольжения и прилипания. Вертикаль­ное напряжение в зоне скольжения (участок I) определяется по уравнению (6.23).

При уменьшении абсциссы до 2h (границы зон скольжения и прилипания) нормальное напряжение достигнет величины

Касательное напряжение в этой точке

(6.52)

(6.53)

Касательное напряжение в зоне прилипания при уменьшении абсциссы изменяется от точки С по прямой

Подставив это значение в дифференциальное уравнение равновесия, получаем

Отсюда

При

Тогда

Полное давление в этом случае

После интегрирования и деления на площадь контакта получаем удельное давление

(6.55)

При небольшой толщине полосы протяженность зоны прили­пания мала, снижением напряжения в ней можно пренебречь и принять, что контактная поверхность является зоной скольже­ния (при малых коэффициентах трения). Тогда удельное давле­ние можно определять по формуле (6.26).

Рассмотрим случай, когда коэффициент трения достигает максимального значения (0,5); зона скольжения отсутствует, контактная поверхность состоит из двух зон — прилипания и торможения. Удельное давление для этого случая определяют из формулы (6.49), если в ней принять и =0. Тогда

Если и в этом случае пренебречь уменьшением напряжения в зоне прилипания, т. е. принять, что контактная поверхность яв­ляется зоной торможения, то удельное давление можно опреде­лить по формуле (6.50) при f — 0,5 и =0. Тогда

(6.57)

Эту формулу можно получить также из выражения (6.31), приняв в ней f = 0,5. Формула (6.31) была выведена нами при допущении постоянства касательных контактных напряжений не­зависимо от величины коэффициента трения.

Е. П. Унксов рекомендует формулу (6.57) для практических расчетов при горячей осадке, когда коэффициент трения близок к предельному значению и контактное касательное напряжение

можно принять постоянным и равным

На рис. 112 приведены кривые зависимости от отношения ширины полосы к толщине при различных коэффициентах трения. Кривые построены по формулам (6.49) и (6.56).

Из этого рисунка видно сильное влияние коэффициента тре­ния на удельное давление при значениях ' и очень малое влияние коэффициента трения при значении его от 0,25

до 0,5. Криволинейный характер зависимости — от коэффици-

ента трения и отношения

при малых значениях последнего переходит в прямолинейный

при . Поэтому при / > 0,2

и > 8 можно пользоваться формулой

(6.58)

Формула (6.58) незначительно отличается от формулы (6.57). Следовательно, при f > 0,2 и > 8 можно считать, что кон-

тактная поверхность является зоной торможения (скольжение отсутствует).

Во всех рассмотренных случаях получена куполообразная форма эпюр контактного нормального давления с монотонным его повышением от края полосы к середине с различной интен­сивностью. Однако по экспериментальным эпюрам установлено наличие незначительных по величине максимумов нормального давления около краев полосы, как это видно на рис. 113, где при­ведены эпюры и , полученные поляризационно-оптическим методом при осадке свинцовых полос бойком из оптически чув­ствительного материала.

При осадке высоких цилиндрических образцов, когда отношение диаметра к высоте меньше 2—2,5, исследователями установлена вогнутая форма эпюры нормального давления.

Качественно о форме эпюры нормального давления можно судить по фор­ме гребешка, образующегося на контактной поверхности при затекании метал­ла в вертикальную щель в' бойке. На рис. 114 приведены фотографии евинцовых образцов с различным отношением диаметра к высоте после осадки по данным Я. М. Охрименко [60].

Учитывая, что чем выше образец при данной его ширине, тем меньше влияние формы на удельное давление; указанное расхождение эксперимен­тальных эпюр с теоретическими не дает существенного отклонения расчет­ных данных от фактических.

Е. П. Унксов сравнил результаты расчета усилий осадки приведенными методом и методом численного интегрирования с использованием линий сколь­жения. Расхождение не превышало 10%.

Метод линий скольжения

Рис. 98. Линии скольжения на поверхности стального образца при вдавливании в него цилиндрического пуан­сона (Надаи)

На начальных стадиях пластической деформации при растя­жении цилиндрического образца на его поверхности обнаружи­вается сетка линий, пересекаю­щихся под прямым углом друг с другом и наклоненных под углом 45° к оси образца. Эти линии (их называют линиями скольжения, линиями Чернова — Людерса) являются следами пересечения поверхности образца плоскостя­ми максимальных касательных напряжений. Линии скольжения можно наблюдать также на по­верхности листов, покрытых ока­линой, вблизи* кромки при резке, пробивке отверстий и т. п. (рис. 98). Исследования показа­ли, что линии скольжения совпадают с траекториями наиболь­ших касательных напряжений.

Линии скольжения обладают рядом важных свойств, позволя­ющих использовать их для нахождения напряжений по объему тела при плоской и осесимметричной деформации. Зная напря­жения в любой точке тела, -можно определить напряжения на

контактной поверхности и тем самым определить полное усилие деформации.

Так как линии скольжения являются траекториями наиболь­ших касательных напряжений и при плоской деформации име­ются две равноправные плоскости максимальных касательных напряжений, получаются два семейства ортогональных линий

Рис. 99. Линии скольжения и и траектории главных нормальных напряжений и

скольжения (рис. 99), пересекающихся с траекториями главных нормальных напряжений под углом

Дифференциальные уравнения линий скольжения следу­ющие:

Выразим компоненты напряжений , и при плоской деформации через главные напряжения и угол между главной осью и осью х. Для этого рассмотрим круги Мора (рис. 100).

Из круга напряжений следует, что

(6.3)

Но при плоской деформации

Поэтому приведенные уравнения примут такой вид:

(6. За)

Выражения (6.3) тождественно удовлетворяют уравнению пластичности для плоской деформации (2.24):

В этом легко убедиться подстановкой уравнений (6.3а) в уравнение пластичности.

Рис. 100. Круг напряжений для плоской деформации

Найдем частные производные напряжений, определяемых уравнениями (6.3а):

(6.4)

Подставим эти значения в уравнения равновесия (1.102):

(6.5)

Эти уравнения (уравнения Леви) определяют в системе коор­динат х и z значения угла , т. е. направление наибольших ка­сательных напряжений.

Выразим уравнения (6.5) в криволинейной системе коорди­нат (сетка линий скольжения). Для этого перенесем начало координат в какую-либо точку А пересечения двух взаимно пер­пендикулярных линий скольжения. Оси координат направим по касательным к линиям скольжения и (рис.101).

Рас. 101. Схема переноса
■jr. осей координат

Тогда в уравнениях (6.5) вместо х и z можно подставить соответственно и . Угол = 0, так как оси координат совпа­дают с касательными к линиям скольжения. Однако

не будут равны, нулю, так как угол , равный нулю в начале координат, изменяется вдоль линий скольжения.

Следовательно, уравнения (6.5) примут такой вид:

Интегрируя уравнения (6.6), получаем:

(6.6)

(6.7)

где — произвольная функция (3;

— произвольная функция а. Уравнения (6.7) называют интегралом Г. Генки или интегра­лом уравнений пластичности. Произвольные функции и имеют постоянное значение при перемещении точки вдоль одной и той же системы соответственно и , но изменяются при переходе на другую линию той же системы.

Если в какой-либо точке А линии системы а

то в другой точке В той же линии

Приравнивая левые части этих уравнений, получаем

Для линий систем находим

Объединим эти уравнения:

где — угол поворота линии скольжения при переходеот точки А к В.

При переходе от одной точки на какой-либо линии скольжения к другой точке той же линии раз­ность средних напряжений будет пропорциональна углу поворота линии скольжения и коэффициент пропорциональности равен 2k.

Это очень важное свойство линии скольжения, так как оно позволяет определить среднее на­пряжение в любой точке тела, если известны линии скольжения и среднее напряжение в какой-либо одной точке тела. Зная сред­нее напряжение и угол , мож­но по уравнениям (6.3а) опреде­лить составляющие напряжений

Рис. 102. Элемент, выделенный в сетке линий скольжения

Выведем еще одно важное геометрическое свойство линий скольжения, облегчающее по­строение их сетки.

Выделим в сетке линий скольжения четырехугольник ABCD (рис. 102), состоящий из двух дуг АВ и CD линий скольжения семейства и двух дуг АС и BD линий семейства . Если дви­гаться по периметру четырехугольника от любой точки, напри­мер А, по направлению часовой стрелки, то при возвращении в точку А угол поворота составит : . При переходе от точек А, ВD, С в точки соответственно В, D, С, А углы поворота соответст­венно равны , , . Причем угол поворота вкаждой из этих точек составляет Следовательно.

или

(6.9)

Определим разность средних напряжений в точках А и D, пе­реходя от точки А в точку D один раз через точку В, а другой раз через точку С.

При переходе через точку В разность напряжений

Согласно уравнению (6.8)

Следовательно,

При переходе через точку С разность напряжений

или

Так как разность средних напряжений в точках А и D, оче­видно, одинакова при переходе через точки В и С,

(6.10)

Сравнивая это выражение с уравнением (6.9), получаем

Отсюда

и

Угол между касательными к двум линиям одного семейства в точках пересечения их каждой линией другого семейства остается постоянным (рис. 103).

При выходе на поверхность тела и отсутствии трения (сво­бодная поверхность) касательное напряжение равно нулю. Тогда на основании уравнения (6.3а)

>

т. е. линии скольжения пересекают свободную поверхность под углом 45°.

На поверхности контакта деформируемого тела с инструмен­том возникает напряжение трения При предельном значении касательного напряжения

т. е. одно семейство линии выхо­дит на контактную поверхность под углом 90°, а другое касатель­но к ней.

Рис. 103, Угол между касатель­ными к двум линиям скольже­ния в точках пересечения их линиями другого семейства

При промежуточном значении контактного касательного напря­жения между 0 и угол колеб­лется в пределах для

одного семейства линий и

для другого.

Итак, основные свойства линий скольжения следующие:

1) линии скольжения составляют два взаимно перпендикулярные семейства кривых, пересекающих траектории главных

напряжений под углом ;

2) изменение среднего нормального напряжения при движении вдоль линии скольжения равно произведению угла ее поворота на :;

3) угол между касательными к двум линиям одного семейства в точках пересечения их каждой линией другого семейства остается постоянным;

4)линии скольжения выходят на свободную поверхность под

углом- -.

Применим метод линий скольжения для определения усилия при внедрении пуансона в тело неограниченных размеров и от­сутствии трения на поверхности контакта (рис. 104).

Длина пуансона (размер, перпендикулярный плоскости чер­тежа) неограничена, поэтому деформацию принимаем плоской. Так как трение отсутствует, линии скольжения пересекают сво­бодную (АВ и EG) и контактную (BE) поверхности под углом

45°. Сетка линий скольжения под этими поверхностями пред­ставляет прямоугольные треугольники ABC, BDE и EFG. В пе­реходных областях BCD и EDF сетка линий скольжения полу­чается радиальная — одна система представлена прямыми, вы­ходящими из точек В и Е, а другая — дугами окружностей с центрами в тех же точках. Линия ACDFG— граница области пластической деформации.

На свободных поверхностях АВ и EG в точках а нормальное к поверхности напряжение a_z равно нулю, по оси х нормальное напряжение сжатия а_ха. По уравнению пластичности