Метод решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности 1 страница

: Метод решения приближенных уравнений равновесия совмест­но с уравнением пластичности широко применяют при опреде­лении усилий в различных процессах обработки давлением.

1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским

2. Поэтому уравнение пластичности принимают в форме, соответствующей указанным видам состояния: (2.24) или (2.22) для плоской деформации (2.28) или (2.29)-(2.31)

3.

4. для плоского напряженного состояния, (2.35)

5.

6. или (2.34) для осесимметричного.

При деформации тела сложной формы его условно разделя­ют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.

2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи (1.102) упрощаются принятием допущения, что нормальные напряжения зависят только от одной координаты. Благодаря этому остается одно дифференциальное уравнение и в немвместо частных производных можно принять обыкновенные.

Это допущение исключает возможность определения напря­жения в каждой точке деформируемого тела в отличие от мето дов совместного решения точных уравнений равновесия с урав­нением пластичности, а также линий скольжения и характери­стик.

Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на кон­такте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно и нет необходимости определять напряжения в каждой точке по объему деформируе­мого тела.

Рассмотрим применение этого метода на примере осадки полосы шириной 26, высотой 2h, неограниченной длины меж­ду плоскими шероховатыми плитами по Е. П. Унксову [18, 59, 64] (рис. 106). На­чало координат расположим на середине ширины и высоты образца. Так как дли­на образца (размер перпендикулярный плоскости чертежа) неограниченно вели­ка, деформация будет плоской. Вследст­вие симметрии полосы относительно оси z определим напряжения для правого се­чения.

Рис. 106. Схема к опре­делению усилия осадки

Выделим в теле бесконечно малый объем плоскостями, параллельными оси z на расстоянии х и х + dx от начала координат; длину этого объема примем

равной единице. На выделенный объем действуют нормальные напряжения , , и касательное напряжение

Согласно второму допущению принимаем, что ■ и не за­висят от координаты г, т. е. постоянны по высоте и зависят толь­ко от координаты х. Тогда второе дифференциальное уравнение равновесия (1.102) тождественно обращается в нуль.

Касательное напряжение , переменное по ширине и высо­те, на контактной поверхности равно —касательному напря­жению, обусловленному трением тела об инструмент. Величина

уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на средине высоты полосы равна нулю. Примем, что зависит от высоты полосы линейно, т. е.

Тогда

Подставив значение в первое уравнение равновесия

(1.102), получаем

(6.17)

Это уравнение можно получить непосредственно из условия равновесия выделенного элемента (см. рис. 106). Сумма проек­ций всех сил, действующих на элементы, на ось х равна нулю, т. е.

Отсюда

Для решения этого дифференциального уравнения относи­тельно необходимо выразить или через , или через х, или принять независящим от х и . Рассмотрим эти случаи:

1. Так как касательное напряжение на контактной поверхно­сти обусловлено трением металла об инструмент, естественно его определить на основании закона Кулона — Амонтона:

(6.18)

здесь и имеют одинаковый знак.

Уравнение пластичности для плоского деформированного состояния (2.24) для нашего случая представим в виде:

(6. 19)

Разность нормальных напряжений зависит от касательного напряжения.

Если касательное контактное напряжение не зависит от нор­мальных напряжений, то разность нормальных напряжений — величина постоянная. В частных случаях, когда и равны нулю (трение отсутствует), и являются главными напряже­ниями и выражение (6.19) превращается в уравнение (2.22):

Когда достигнет максимальной величины , уравнение (6.19) получит вид:

(6.20)

Дифференцируя уравнения (2.22) и (6.20), получаем уравне­ние пластичности в дифференциальной форме:

точное при указанных выше условиях постоянства или незави­симости от и

Е. П. Унксов показал [18, 12, 53], что если зависит от нор­мального напряжения , как в нашем случае, при изменении т_к от нуля до 0,7 k для приближенных расчетов можно пользовать­ся уравнением пластичности в форме (2.22), а при

— в форме (6.19). Тогда выражение (6.20) является при­ближенным.

Подставив выражения (6.18) и (6.21) в уравнение (6.17), получаем

(6.22)

После разделения переменных и интегрирования находим

Отсюда

Постоянную интегрирования C1 определим из граничного усло­вия ' (при х — b, ):

Следовательно,

(6.23)

На рис. 107 представлены эпюры , построенные по формуле (6.23), и

(6.24)

По формуле (6.23) можно определить в любой точке кон­тактной поверхности.

Суммируя нормальные напряжения по контактной поверх­ности, можно определить полное давление на единицу длины полосы ²:

(6.25)

¹ везде принимаем положительным, а — в данном случае сжимающее, поэтому оно отрицательное.

² Полное и удельное давление принимаем положительными

Разделив полное усилие Р на контактную площадь 2b, полу­чаем удельное усилие (давление)

(6.26)

Из анализа уравнения (6.23) и эпюр напряжений (рис. 107) можно сделать вывод, что напряжения трения на оси полосы скачкообразно переходят от положительных значений к отрица­тельным и эпюра на оси образца имеет резко выраженный пик; как будет показано дальше, это не подтверждается эксперимен­тально. Из эпюр также видно, что контакт­ное напряжение трения (как и ) растет от края полосы к оси по показательной кри­вой с увеличивающейся интенсивностью и величина касательного напряжения ничем не ограничена; ранее было установлено, что касательное напряжение не может быть

больше

Из рассмотрения выражений (6.23), (6.25) и (6.26) видно, что величины нор­мального напряжения, полного и удельного усилия зависят от рода материала и его фи­зического состояния (температуры, степени и скорости деформации, определяемых

величиной ) и от параметра , отражающего влияние напря­женного состояния, зависящего от соотношения размеров тела и коэффициента трения.

Из формулы (6.26) видно, что увеличение параметра

уменьшает коэффициент перед скобками и увеличивает первое слагаемое в скобках. Так как в последнем случае этот параметр

входит как показатель степени, увеличение повышает удель­ное давление. Чем больше коэффициент трения и отношение ширины к толщине, тем больше удельное и полное давление. Качественно это подтверждается практикой. Однако при боль­ших значениях коэффициента трения и большом отношении ши­рины к толщине полосы расчет по формулам (6.25) и (6.26) дает результаты, завышенные в несколько раз по сравнению с факти­ческими.

2. Принимаем допущение, что контактное касательное на

пряжение постоянно, согласно Зибелю, оно пропорционально

т. е. (6.27)

Подставляя в уравнение (6.17) это значение и заменяя на ,получаем

(6.28)

Отсюда

Постоянную интегрирования определяем при х = b и

Следовательно,

(6.29)

На рис. 108 представлены эпюры контактного касательного напряжения по уравнению (6.27) и нормального напряжения по уравнению (6.29).

Суммируя нормальные напряжения по контактной поверхности, находим полное давление на единицу длины полосы

(6.30) и удельное давление

(6.31)

Из рис. 108 и уравнения (6.29) видно, что в отличие от рис. 107 в данном случае при постоянстве контактного касательного напряжения нормальное напряжение от края полосы к се­редине изменяется линейно и растет менее интенсивно. Кроме того, имеется скачкообразное изменение и пик на оси поло­сы, хотя и менее резко выраженные, чем в предыдущем случае. Из выражений (6.29), (6.30) и (6.31) видно, что и в данномслучае усилие зависит от и параметра , но в отличие отпервого случая влияние этого параметра значительно слабее. При малых значениях коэффициента трения и малом отношении • (высокие и узкие полосы) формула (6.31) дает заниженныезначения удельного давления по сравнению с фактическими.

3. Допустим, что контактные касательные напряжения не имеют скачкообразного изменения при переходе через середину полосы и т_к на контактной поверхности изменяется по линейно­му закону

(6.32)

где — значение контактного напряжения на краю полосы.

Из выражения (6.32) видно, что при х = 0 значения = 0, при х = b(на краю полосы) значение

Подставив по выражению (6.32) в дифференциальное урав­нение (6.17), получаем

(6.33)

После интегрирования находим

Постоянную интегрирования С определяем при х = b и =

Отсюда

(6.34)

Полное давление на единицу длины полосы

(6.36)

Если принять то получаем

На рис. 109 представлена эпюра контактного касательного

и нормального напряжений по ширине полосы при

Из рис. 109 и уравнения (6.34) видно, что нормальное напря­жение в этом случае изменяется по параболе и растет от края к середине ширины с меньшей ин­тенсивностью, чем в первых двух рассмотренных случаях; пик на оси г отсутствует.

Из формулы (6.37) видно, что и в этом случае удельное давление за­висит от и параметра ; одна-

ко влияние последнего слабее, чем в первых двух случаях.

Имеются экспериментальные дан­ные по определению фактической формы эпюр нормальных и каса­тельных напряжений на поверхно­сти контакта деформируемого ме­талла с инструментом в различных процессах обработки давле­нием (ковка, прокатка, прессование).

Применительно к рассматриваемому процессу осадки Е. П. Унксов [18, 59] определял эпюры напряжений различными методами и установил, что в широком диапазоне изменения коэффициентов трения и отношения ширины полосы к толщине форма эпюр имеет куполообразный вид без резко выраженно­го пика на оси полосы. Касательное напряжение на оси г плавно переходит через нуль.

В общем случае эпюры нормальных и касательных напря­жений состоят из трех участков (рис. 110). В I участке и растут от точек А и а с повышающейся интенсивностью по кри­вой, близкой к показательной, до точек В и b. Во II участке сохраняет постоянную величину, а растет по прямой до точек С и с. В III участке изменяется по наклонной прямой, проходя через нуль, а изменяется по. параболе, имея максимум на оси полосы.

На основании этого можно сделать вывод, что в периферий­ном участке I металл скользит по инструменту, контактное ка­сательное напряжение является напряжением трения скольже­ния и подчиняется закону Кулона — Амонтона (напряжение тре­ния равно произведению коэффициента трения на нормальное давление). Это отвечает первому допущению из рассмотренных

Рис. ПО. Экспериментальные эпюры контактных напряжений при плоской осадке свинцовых об­разцов (Е. П. Унксов)

выше при решении упрощенного дифференциального уравнения равновесия (6.17).

Изменение нормального напряжения описывается уравне­нием (6.23), а изменение касательного контактного напряже­ния—-уравнением (6.24).

Однако увеличение абсолютной величины с уменьшением х,

как указано выше, может происходить до значения Приравнивая это выражение и выражение (6.18), получаем рост касательного напряжения прекращается и оно

Отсюда

(6.38)

После того как достигнет значения , а значения

принимает постоянное значение т_к = участок I скольжения переходит в участок II торможения, в котором равновероят­
но скольжение металла по инструменту и сдвиги внутри металлапо плоскостям, параллельным контактной плоскости.

Абсциссу границы участков торможения и скольжения можно определить, приравнивая правые части выражений (6.23) и (6.38):

Отсюда

(6.39) (6.40)

Так как коэффициент трения Обозначая

получаем

Значения зависят от коэффициента трения f:

f 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

46 16,1 8,04 4,6 2,78 1,70 1,02 0,56 0,24 0

Протяженность зоны скольжения от точки хb до края поло­сы выражается равенством

(6.41)

Нормальное напряжение в зоне скольжения изменяется от на краю полосы до

Так как в зоне торможения контактное касательное напря­жение постоянно , дифференциальное уравнение равновесия (6.17) имеет вид:

и

Постоянную интегрирования С определяем при , т. е.

на границе зон скольжения и торможения согласно выражению

(6.38)

Отсюда

(6.42)

Как указано выше, экспериментами установлено снижение контактных касательных напряжений вблизи вертикальной оси симметрии, где скольжение металла по инструменту отсутствует.

Участок III является зоной прилипания. Экспериментально установлено, что на границу этой зоны можно приближенно при­нять абсциссу, равную толщине образца, т. е.

(6.43)

Следовательно, зона торможения распространяется от =

до

Нормальное напряжение во II участке изменяется от на границе с участком скольжения до

на границе с участком прилипания.

В зоне прилипания (III участок) принимаем линейную зави­симость от абсциссы согласно выражению (6.32), причем кон­тактное касательное напряжение на границе с участком тормо­жения при равно. Тогда

(6.44)

Подставив выражение (6.44) в дифференциальное уравнение равновесия (6.17), получаем:

После интегрирования

Постоянную интегрирования С определяем при (на границе участков торможения и прилипания) согласно выражению (6.42):

и

Поэтому

(6.45)

На рис. 111 представлены эпюры контактных и нормальных напряжений для трех участков (скольжение, торможение и при­липание), построенные по приведенным выше формулам.

Теоретический анализ объясняет форму экспериментальных эпюр контактных касательных и нормальных напряжений при осадке полосы. Эпюры состоят в общем случае из трех участков с различной закономерностью изменения касательных и нор­мальных напряжений. В I участке (участок скольжения) каса­тельные напряжения равны произведению коэффициента трения на нормальное давление; в этом участке касательные и нормаль­ные напряжения растут по показательной кривой. Во втором участке (участок торможения) касательные напряжения трения

постоянны, максимальны и равны ; нормальные напряжения растут по прямой. В III участке (участок прилипания) касакасательные напряжения уменьшаются линейно до нуля на верти­кальной оси полосы; нормальные напряжения изменяются по па­раболе.