Инъективные, сюръективные отображения
Определение 1.Отображение 
: 
называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества 
имеют образами при отображении два различных элемента из множества 
, т.е.
, 
.
Например, отображение : приведенное на следующей схеме
является инъекцией множества в множество . Здесь 
.
Определение 2. Отображение : называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества является образом при отображении по крайней мере одного элемента из , т.е.
такой, что 
, т.е. 
.
Сюръективное отображение – это отображение множества на множество .
Например, отображение :
является сюръективным, а отображение 
:
не является сюръективным.
Если 
при отображении : , то отображение - сюръективное.
Теорема. Отображение : биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.
Доказательство. Пусть : - биективно. Тогда каждый элемент 
является образом при отображении некоторого элемента 
, следовательно, отображение - сюръективно. А так как этот элемент 
- единственный, то из этого следует, что разным элементам соответствуют разные образы, т.е. отображение инъективно.
Обратно, пусть : - инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции , а ввиду инъективности отображения 
содержит единственный элемент.
Примеры.
1. 
, 
Отображение не сюръективно, т.к. элемент 
не является образом ни одного элемента из 
. Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента 
и 
имеют образом один и тот же элемент 
.
2. : 
, 
Отображение сюръективно, но не инъективно.
3. 
: 
, 
Отображение сюръективно и инъективно одновременно, т.к. оно биективно.
Графики взаимнообратных функций
1. : 
, 
, 
- нечетное.
Уравнение 
для любого 
имеет единственное решение 
, поэтому функция : обратима и имеет обратную функцию 
: по правилу 
.
Обозначим аргумент обратной функции через , получим
: , 
.
Рассмотрим графики функций и .
.
График обратной функции (рис. 6б) симметричен графику функции (рис. 6а) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
0 0
Рис. 6а Рис. 6б
2. Отметим, что следующая функция не обратима:
: 
, , - четное.
0
Рис. 7
3. : 
, 
, 
: , 
.
0 0
Рис. 8а Рис. 8б
4. : 
, 
, 
- нечетное
: , 
.
0 0
Рис. 9а Рис. 9б
5. : 
, , 
- четное. Эта функция не обратима.
0
Рис. 10
6. : 
, 
,
: , 
.
1 1
0 1 0 1
Рис. 11а Рис. 11б
7. : 
, 
, , 
,
: 
, 
.
1 
0 0 1
Рис. 12а
Рис. 12б
8. : 
, 
,
: 
, 
.
1 
0 1 -1 0 1
-1
Рис. 13а Рис. 13б
9. : 
, 
,
: 
, 
.
1 
0 
-1 0 1
-1
Рис. 14а Рис. 14б
10. : 
, 
,
: 
, 
.
0 0
Рис. 15а Рис. 15б
11. : 
, 
,
: 
, 
.
0 