Метод замены переменной

Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная :

(функции , не обязательно находятся под знаком интеграла в виде произведения).

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

.

Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за t – синус или косинус?!

Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.

Общий ориентир: в похожих случаях заt нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

Итак, запомнили:

.

Прерываем решение и проводим замену

;

.

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от, теперь осталось выяснить, во что превратится .

Для этого находим дифференциал dt:

Или, если короче:

Из полученного равенства по правилу пропорции получаем нужное нам выражение:

.

Итак:

Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от t и можно продолжать решение

Готово. Напоминаем, что цель замены – упростить подынтегральное выражение. В данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

.

Полные решения и ответы в конце урока.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что обозначать за t, синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за t другую функцию, но есть общий ориентир.

Общий научный ориентир: заt нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере, что студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе…

Поэтому проведем замену:

.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

.

Анализируем подынтегральную функцию. Что нужно обозначить за t?

Вспоминаем наши ориентиры:

1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе;

2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена .

В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

.

Произведение мы резервируем под наш «будущий» дифференциал dt. А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

. Проводим преобразования:

Вот теперь замена:

Готово.

Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а заt – обозначить другую функцию.

Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы. В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за t обозначили синус.

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.